抛物线知识点总结及例题讲解.pdf

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1、个性化辅导讲义二次函数【知识梳理】21.定义：一般地，如果yaxbxc(a,b,c都是常数，a0),那么y是x的二次函数222.二次函数yaxbxc(a0)配方得：yaxhk的形式，其中2b4acbh,k2a4a3.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.①的符号决定抛物线的开口方向：(1)当时，开口向上；顶点是抛物线的最低点，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，2b4acb当x,y值最小，最小值为2a4a(2)当时，开口向下；顶点是抛物线的最高点，在对称轴左侧，y随x的

2、增大而减小，当2b4acbx,y值最大，最大值为2a4a(3)a相等，抛物线的开口大小、形状相同.②平行于y轴（或重合）的直线记作.特别地，y轴记作直线.4.顶点决定抛物线的位置:几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.5.求抛物线的顶点、对称轴的方法22b24acb（1）公式法：yaxbxca(x)，2a4a2b4acbb∴顶点是(,)，对称轴是直线x.2a4a2a2（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为ya

3、(xh)k的形式，得到顶点为(h,k)，对称轴是直线.（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称点的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.26.抛物线yaxbxc中，a,b,c的作用1杭州龙文教育科技有限公司个性化辅导讲义2（1）决定开口方向及开口大小，这与yax中的完全一样.2b（2）和共同决定抛物线对称轴的位置:由于抛物线yaxbxc的对称轴是直线x，2a故：b①时，

4、对称轴为轴②>0（即、同号）时，对称轴在轴左侧ab③0（即、异号）时，对称轴在y轴右侧.a2（3）的大小决定抛物线yaxbxc与y轴交点的位置.2当x0时，yc，∴抛物线yaxbxc与y轴有且只有一个交点（0，）：①，抛物线经过原点;②,与轴交于正半轴；③,与轴交于负半轴.b以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则0.a7.用待定系数法求二次函数的解析式2（1）一般式：yaxbxc.已知图像上三点或三对x,y的值，通常选择一般式.2（2）顶点式：yax

5、hk.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.（3）交点式：已知图像与轴的交点坐标x,x，通常选用交点式：ya(xx)(xx).12128.直线与抛物线的交点2（1）轴与抛物线yaxbxc得交点为(0,c).2（2）与轴平行的直线与抛物线yaxbxc有且只有一个交点(,).2（3）抛物线与轴的交点:二次函数yaxbxc的图像与轴的两个交点的横坐标x,x，是12对应一元二次方程的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点抛物线与轴相交；②有一

6、个交点（顶点在轴上）抛物线与轴相切；③没有交点抛物线与轴相离.（4）平行于轴的直线与抛物线的交点：同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐2杭州龙文教育科技有限公司个性化辅导讲义标为，则横坐标是的两个实数根.2（5）一次函数ykxn(k0)的图像l与二次函数yaxbxc(a0)的图像G的交点，由方程组的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时与有两个交点;②方程组只有一组解时与只有一个交点；③方程组无解时与没有交点.2（6）抛物线与轴两交点之间的距

7、离：若抛物线yaxbxc与轴两交点为A(x,0),B(x,0)，122bc由于x,x是方程axbxc0的两个根，故xx,xx121212aa经典例题：22【例1】二次函数yaxbxc的图像如图所示，那么abc、b4ac、2ab、4a2bc这四个代数式中，值为正的有（）yA、4个B、3个C、2个D、1个21世纪教育网b-1O1x解析：∵x＜12a∴2ab＞0例1图答案：A评注：由抛物线开口方向判定a的符号，由对称轴的位置判定b的符号，由抛物线与y轴交点2位置判定c的符号。

8、由抛物线与x轴的交点个数判定b4ac的符号，若x轴标出了1和－1，则结合函数值可判定2ab、abc、abc的符号。2【例2】已知abc0，a≠0，把抛物线yaxbxc向下平移1个单位，再向左平移5个单位所得到的新抛物线的顶点是（－2，0），求原抛物线的解析式。分析：①由abc0可知：原抛物线的图像经过点（1，0）；②新抛物线向右平移5个单位，再向上平移1个