椭圆知识点总结及例题讲解

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1、椭圆专题复习★知识梳理★1.椭圆定义：（1）第一定义：平面内与两个定点F、F的距离之和为常数2a(2a

2、FF

3、)的动点P的轨迹叫椭圆,其中1222两个定点F、F叫椭圆的焦点.12当PFPF2aFF时,P的轨迹为椭圆;;1212当PFPF2aFF时,P的轨迹不存在;1212当PF1PF22aF1F2时,P的轨迹为以F1、F2为端点的线段（2）椭圆的第二定义:平面内到定点F与定直线l(定点F不在定直线l上)的距离之比是常数e(0e1)的点的轨迹为椭圆（利用第二定义,可以实现椭圆上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互转化）.2.椭圆的方程与几何性质:标准方程x2y

4、2y2x21(ab0)1(ab0)22a2b2ab参数关系a2b2c2性焦点(c,0),(c,0)(0,c),(0,c)质焦距2c范围

5、x

6、a,

7、y

8、b

9、y

10、a,

11、x

12、b顶点(a,0),(a,0),(0,b),(0,b)(0,a),(0,a),(b,0),(b,0)对称性关于x轴、y轴和原点对称离心率ce(0,1)a准线22aaxycc考点1椭圆定义及标准方程题型1:椭圆定义的运用[例1](湖北部分重点中学2009届高三联考)椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置

13、的椭圆形台球盘，点A、B是它的焦点，长轴长为2a，焦距为2c，静放在点A的小球（小球的半径不计），从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是A．4aB．2(a－c)C．2(a+c)D．以上答案均有可能yP[解析]按小球的运行路径分三种情况:CD１OxABQ(1)ACA,此时小球经过的路程为2(a－c);(2)ABDBA,此时小球经过的路程为2(a+c);(3)APBQA此时小球经过的路程为4a,故选D【名师指引】考虑小球的运行路径要全面【新题导练】21.短轴长为5，离心率e的椭圆两焦点为F1，F2，过F1作直线交椭圆于A、B两点，则△ABF

14、2的周长为3（）A.3B.6C.12D.24[解析]C.长半轴a=3，△ABF2的周长为4a=1222xy22222.已知P为椭圆1上的一点，MN,分别为圆(xy3)1和圆(xy3)4上的点，则2516PMPN的最小值为（）A．5B．7C．13D．15[解析]B.两圆心C、D恰为椭圆的焦点，

15、PC

16、

17、PD

18、10，PMPN的最小值为10-1-2=7题型2求椭圆的标准方程[例2]设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为42－4，求此椭圆方程.【解题思路】将题中所给条件用关于参数a,b,c的式子“描述”

19、出来2222xyxy[解析]设椭圆的方程为1或1(ab0)，2222abbabc则ac4(21)，222abc2222xyxy解之得：a42，b=c＝4.则所求的椭圆的方程为1或1.32161632【名师指引】准确把握图形特征，正确转化出参数a,b,c的数量关系．［警示］易漏焦点在y轴上的情况．【新题导练】223.如果方程x+ky=2表示焦点在y轴的椭圆，那么实数k的取值范围是____________.22xy2[解析](0,1).椭圆方程化为+=1.焦点在y轴上，则>2，即k<1.22kk又k>0，∴0

20、ysin1,(0,),讨论方程表示的曲线的形状２[解析]当(0,)时，sincos，方程表示焦点在y轴上的椭圆，4当时，sincos，方程表示圆心在原点的圆，4当(,)时，sincos，方程表示焦点在x轴上的椭圆425.椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是3，求这个椭圆方程.ac3a23x2y2x2y2[解析]，b3，所求方程为+=1或+=1.a2cc3129912考点2椭圆的几何性质题型1:求椭圆的离心率（或范围）0[例3]在△ABC中，A30,

21、

22、AB

23、2,S3．若以AB，为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的ABC离心率e．【解题思路】由条件知三角形可解，然后用定义即可求出离心率1[解析]S

24、AB

25、

26、AC

27、sinA3，ABC222

28、AC

29、23，

30、BC

31、

32、AB

33、

34、AC

35、2

36、AB

37、

38、AC

39、cosA2

40、AB

41、231e

42、AC

43、

44、BC

45、2322【名师指引】（1）离心率是刻画椭圆“圆扁”程度的量，决定了椭圆的形状；反之，形状确定，离心率也随之确定（2）只要列出