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1、word资料下载可编辑椭圆基础过关1．椭圆的两种定义(1)平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫椭圆，这两个定点叫做椭圆的，之间的距离叫做焦距．注：①当2a＝
2、F1F2
3、时，P点的轨迹是．[来源:学科网ZXXK]②当2a＜
4、F1F2
5、时，P点的轨迹不存在．(2)椭圆的第二定义：到的距离与到的距离之比是常数，且的点的轨迹叫椭圆．定点F是椭圆的，定直线l是，常数e是．2．椭圆的标准方程(1)焦点在轴上，中心在原点的椭圆标准方程是：，其中(>>0，且)(2)焦点在轴上，中心在原点的
6、椭圆标准方程是，其中a，b满足：．（3）焦点在哪个轴上如何判断？3．椭圆的几何性质(对,a>b>0进行讨论)(1)范围：≤x≤，≤y≤(2)对称性：对称轴方程为；对称中心为．(3)顶点坐标：，焦点坐标：，长半轴长：，短半轴长：；准线方程：．(4)离心率：(与的比)，，越接近1，椭圆越；越接近0，椭圆越接近于．(5)焦半径公式：设分别为椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，则，=。4．焦点三角形应注意以下关系（老师补充画出图形）：(1)定义：r1＋r2＝2a(2)余弦定理：＋－2r1r2cos＝(2c)2(
7、3)面积：＝r1r2sin＝·2c
8、y0
9、(其中P()为椭圆上一点，
10、PF1
11、＝r1专业技术资料word资料下载可编辑，
12、PF2
13、＝r2，∠F1PF2＝)典型例题变式训练2：已知P（x0,y0）是椭圆（a＞b＞0）上的任意一点，F1、F2是焦点，求证：以PF2为直径的圆必和以椭圆长轴为直径的圆相内切.证明设以PF2为直径的圆心为A，半径为r.∵F1、F2为焦点，所以由椭圆定义知
14、PF1
15、+
16、PF2
17、=2a，
18、PF2
19、=2r∴
20、PF1
21、+2r=2a，即
22、PF1
23、=2（a－r）连结OA，由三角形中位线定
24、理，知
25、OA
26、=故以PF2为直径的圆必和以长轴为直径的圆相内切.评注运用椭圆的定义结合三角形中位线定理，使题目得证。例3.如图，椭圆的中心在原点，其左焦点与抛物线的焦点重合，过的直线与椭圆交于A、B两点，与抛物线交于C、D两点．当直线与x轴垂直时，．（1）求椭圆的方程；（2）求过点O、，并且与椭圆的左准线相切的圆的方程；（3）求的最大值和最小值．解：（1）由抛物线方程，得焦点．设椭圆的方程：．解方程组得C（-1，2），D（1，-2）．由于抛物线、椭圆都关于x轴对称，∴，，∴．…………2分∴又，专业技
27、术资料word资料下载可编辑因此，，解得并推得．故椭圆的方程为．…………4分（2），圆过点O、，圆心M在直线上．设则圆半径，由于圆与椭圆的左准线相切，∴由得解得所求圆的方程为…………………………8分（3）由①若垂直于轴，则，，…………………………………………9分②若与轴不垂直，设直线的斜率为，则直线的方程为由得，方程有两个不等的实数根．设，.[来源:学。科。网],………………………………11分专业技术资料word资料下载可编辑=，所以当直线垂于轴时，取得最大值当直线与轴重合时，取得最小值变式训练3：
28、在平面直角坐标系xOy中，已知点A(-1,0)、B(1,0),动点C满足条件：△ABC的周长为2＋2.记动点C的轨迹为曲线W.(1)求W的方程；(2)经过点（0,）且斜率为k的直线l与曲线W有两个不同的交点P和Q，求k的取值范围；（3）已知点M（，0），N（0,1），在(Ⅱ)的条件下，是否存在常数k，使得向量与共线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由.解：(Ⅰ)设C（x,y）,∵,,∴,∴由定义知，动点C的轨迹是以A、B为焦点，长轴长为2的椭圆除去与x轴的两个交点.∴.∴.[来源:学科网]
29、∴W:.…(2)设直线l的方程为，代入椭圆方程，得.整理，得.①专业技术资料word资料下载可编辑因为直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于，解得或.∴满足条件的k的取值范围为（3）设P（x1,y1）,Q(x2,y2),则＝（x1+x2，y1+y2),由①得.②又③因为，，所以.………所以与共线等价于.将②③代入上式，解得.所以不存在常数k，使得向量与共线.例4.已知椭圆W的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，两条准线间的距离为6.椭圆W的左焦点为，过左准线与轴的交点任作一条斜率不为零的直线与椭圆W
30、交于不同的两点、，点关于轴的对称点为.（1）求椭圆W的方程；（2）求证：()；（3）求面积的最大值.解：（1）设椭圆W的方程为，由题意可知解得，，，所以椭圆W的方程为．……………………………………………4分专业技术资料word资料下载可编辑（2）解法1：因为左准线方程为，所以点坐标为.于是可设直线的方程为．得.由直线与椭圆W交于、两点，可知，解得．设点，的坐标分别为，,则，，，．因为，，所以，.又因为，所以．……………………………………………………………10分解法2：
