抛物线知识点汇总及考点例题

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1、第3讲成绩好，信心足高一数学科讲义抛物线温故知新X＞0，恒等于0X≤0，无意义知识点核心：抛物线1.定义：把平面内与一个定点和一条定直线l（l不经过）距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点叫做抛物线的______,直线l叫做抛物线的________。标准方程简图顶点焦点对称轴轴轴轴轴准线方程范围离心率10X＞0，恒等于0X≤0，无意义抛物线焦点弦性质：直线过抛物线的焦点与抛物线交于两点（1）（2）（3）（4）以弦为直径的圆与准线相切考点一:定义和标准方程抛物线定义中的“转化”法利用抛物线的定义解决此类问题，应灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化．“看到准线想到焦点，看到焦点

2、想到准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的有效途径．[例1]　设P是抛物线y2＝4x上的一个动点．(1)求点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值；(2)若B(3,2)，求

3、PB

4、＋

5、PF

6、的最小值．10变式1：已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M（－3，m）到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值．考点二:抛物线性质(1)关键：利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化成标准方程．(2)技巧：要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解．[例2]　2_1(2013·四川高考)抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2－＝1的

7、渐近线的距离是_____________.10变式2：抛物线的焦点坐标是（　　）．　　（A）　　（B）　　（C）　　（D）变式3：抛物线上一点到直线的距离最短的点的坐标是（）A．（1，1）B．（）C．D．（2，4）考点三:抛物线与直线直线与抛物线相交的四个结论10　已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点的直线交抛物线于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有以下结论：(1)

8、AB

9、＝x1＋x2＋p或

10、AB

11、＝(α为AB所在直线的倾斜角)；(2)x1x2＝；(3)y1y2＝－p2；(4)过抛物线焦点且与对称轴垂直的弦称为抛物线的通径，抛物线的通径长为2p.[例3](201

12、2·福建高考)如图，等边三角形OAB的边长为8，且其三个顶点均在抛物线E：x2＝2py(p>0)上．(1)求抛物线E的方程；(2)设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y＝－1相交于点Q.证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点．变式4：已知过点A(－4,0)的动直线l与抛物线G：x2＝2py(p>0)相交于B，C两点．当直线l的斜率是时，＝4.(1)求抛物线G的方程；(2)设线段BC的中垂线在y轴上的截距为b，求b的取值范围．10考点四:前沿热点1．抛物线是一种重要的圆锥曲线，在高考中，经常以抛物线为载体与直线、圆综合考查，主要考查抛物线的方程及几何性质，直线与抛物线的综合应用，点到直线的

13、距离等．2．直线与抛物线的综合问题，经常是将直线方程与抛物线方程联立，消去x(或y)，利用方程的根与系数的关系求解，但一定要注意直线与抛物线相交的条件．[典例](2013·湖南高考)过抛物线E：x2＝2py(p>0)的焦点F作斜率分别为k1，k2的两条不同直线l1，l2，且k1＋k2＝2，l1与E相交于点A，B，l2与E相交于点C，D，以AB，CD为直径的圆M，圆N(M，N为圆心)的公共弦所在直线记为l.(1)若k1>0，k2>0，证明：·<2p2；(2)若点M到直线l的距离的最小值为，求抛物线E的方程．10变式5：(2013·广东高考)已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F(0，c)(c>

14、0)到直线l：x－y－2＝0的距离为，设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．(1)求抛物线C的方程；(2)当点P(x0，y0)为直线l上的定点时，求直线AB的方程；(3)当点P在直线l上移动时，求

15、AF

16、·

17、BF

18、的最小值．10变式6：已知直线y＝－2上有一个动点Q，过点Q作直线l1垂直于x轴，动点P在l1上，且满足OP⊥OQ(O为坐标原点)，记点P的轨迹为C.(1)求曲线C的方程；(2)若直线l2是曲线C的一条切线，当点(0,2)到直线l2的距离最短时，求直线l2的方程．10课后练习：一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．如果抛物

19、线y2=ax的准线是直线x=-1，那么它的焦点坐标为（）A．（1,0）B．（2,0）C．（3,0）D．（－1,0）2．圆心在抛物线y2=2x上，且与x轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（）A．x2+y2-x-2y-=0B．x2+y2+x-2y+1=0C．x2+y2-x-2y+1=0D．x2+y2-x-2y+=03．一抛物线形拱桥，当水面离桥顶2m时，水面宽4m，若水面下降1m，则水面宽为（）A．mB．2mC．4.5mD．9m4