数学精讲大学-导数与微分四.doc

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1、GCT考点精讲班-数学大学数学-导数与微分导数与微分—内容综述1．导数概念引例:切线斜率（1）导数的定义:设函数在及其附近有定义，如果极限存在，则称函数在处可导，极限值的大小称为函数在处的导数值，记作，或等．右导数：左导数：注:设函数在及其附近有定义，则在处可导，且的充分必要条件是：在处既是左可导的，又是右可导的，且，．（2）导数的几何意义:表示的是曲线在点处切线的斜率，所以曲线在点处的切线方程为．过切点且与曲线在该点的切线垂直的直线称为曲线在该点的法线．当时，曲线在点处的法线方程为．两条曲线在点处相切指的是它们在点的切线重合，即它们在处不仅函数值相等，

2、导数值也相等．（3）可导与连续的关系：若函数在点处可导，则在处连续．证明：因为在点处可导，所以极限存在，且．所以．故在处连续．2.微分概念引例：如图，边长为的正方形，当其边长增加了时，它的面积增加了．上述面积的增加值有两部分构成，一部分是的一次项，一部分满足，即．（1）函数在一点的微分:设函数在及其附近有定义，如果函数值在点处的改变量可以表示成自变量改变量的一次项与自变量改变量的高阶无穷小之和，即，则称函数在处可微，称为在处的微分，记作．（2）函数在一点可微与可导的关系—微分计算公式定理：函数在处可微的充要条件是函数在处可导，且．其中．证明：充分性．设函

3、数在处可导，则．所以．即．故在处可微，且．必要性．设函数在处可微，则．所以．故在处可导，且．本定理说明：一元函数的可导性与可微性是等价的性质，且导数值与微分值满足等式，即导数值等于函数微分与自变量微分的商，所以导数有时也称为微商．2．导数运算（1）基本导数公式常函数的导数：．幂函数的导数：．指数函数的导数：，．对数函数的导数：，．三角函数的导数：，，，，，．反三角函数的导数：，，．（2）导数的四则运算定理：若函数在处可导，则其和、差、积、商函数均在处可导，且（1）；（2）；（3）（）．（3）复合函数的链导法：定理：设函数是函数和的复合．若在处可导，在处可

4、导，则函数关于在处的导数为．（4）隐函数的求导法、反函数的求导法：设函数互为反函数，若存在且不为零，则在处可导，且．幂指函数求导法：,注:参数方程求导.4．高阶导数（1）高阶导数的概念：（2）常见的几个函数的高阶导数，，，（3）复合函数、隐函数二阶导数的求法例:已知函数具有阶连续导数，，求．解:根据复合函数的链导法则，由求导，得．因为关于自变量仍然是复合函数，所以它关于的导数是．从而由再求导，得．例:已知函数由方程确定，求．解:在方程两端关于变量求导，将看作中间变量，得．再在上式两端关于求导，将,均看作中间变量，得．将代入上式并整理，得．导数与微分—典型

5、例题（概念与性质）例15-1．用导数定义求．解．例15-2．研究函数在处的可导性．解因为，所以当，即时，函数在处可导，且；当时，函数在处不可导．例15-3．（2009．18）设函数在点某邻域内有定义．若成立，则（D）.A．在点连续，但不可导B．在点可导C．存在，但在点不连续D．时，是的高阶无穷小【分析】因为，所以，即是的高阶无穷小，从而是的高阶无穷小．注1：本题利用排除法非常简单．根据极限概念，函数在一点的极限与函数在这一点的情况无关，而选项A，B，C都牵扯到了在处的值，所以不会成立．注2：特殊值代入法．取即可．例15-4．已知存在，求下列极限的值（1）

6、；（2）。例15-5．设在的某邻域内有定义，，则在处可导的充分必要条件是[A]（A）．(B)存在．(C)在处连续．(D)在处可导．解：，．例15-6．（2005．18）设在点处可导，且则=（）．A．B．C．D．答：C。分析：因为在点处可导，所以其在点处连续，从而，．即正确选项为C．例15-7．(2012)若是非负连续函数，且，则（）．A．B．C．D．分析:因为是非负连续函数，所以．又，所以，且．所以，即．答：A例15-8．（2006．16）设，且导数存在，则（）．A．B．∞C．D．答：D。分析：根据导数定义，极限是复合函数在点的导数，所以其值为．例15-

7、9．（2003）如果在处可导，，则极限（）．答：C.A．等于．B．等于．C．等于．*D．不存在．解　因为，所以　．例15-10．已知，求．解：因为所以．例15-11．设在上一阶可导，且，，证明存在，使得．简证：不妨设，则存在，使得．因此存在，使得．例15-12.（2010.18）设函数导数连续，其图像在原点与曲线相切．若函数在原点可导，则（）．A．B．C．D．答：D．分析：因为，，所以．注：取，则．例15-13.（2011.18）若在处可导，且而在处不可导，则（）.A.B.C.D.答：B．分析：本题主要考查了导数的概念和连续函数的保号性．若，不妨设，因为

8、函数在处连续，所以在附近都有，从而．这与在处不可导矛盾．所以．由于，若，则，这与