导数及微分精讲及习题讲解

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1、导数与微分精讲及习题讲解⒈理解导数的概念；了解导数的几何意义；会求曲线的切线和法线；会用定义计算简单函数的导数；在点处可导是指极限存在，且该点处的导数就是这个极限的值。导数的定义式还可写成极限   函数在点处的导数的几何意义是曲线上点处切线的斜率。曲线在点处的切线方程为函数在点可导，则在点连续。反之则不然，函数在点连续，在点不一定可导。⒉了解微分的概念；知道一阶微分形式不变性。⒊熟记导数基本公式，熟练掌握下列求导方法（1）导数的四则运算法则（2）复合函数求导法则（3）隐函数求导方法（4）对数求导方法6（5）参数表示的函数的求导法正确的采用求导方法有助于我们的导数计算，如一般当函

2、数表达式中有乘除关系或根式时，求导时采用取对数求导法，例如函数，求。在求导时直接用导数的除法法则是可以的，但是计算时会麻烦一些，而且容易出错。如果我们把函数先进行变形，即             再用导数的加法法则计算其导数，于是有                  这样计算不但简单而且不易出错。又例如函数，求。显然直接求导比较麻烦，可采用取对数求导法，将上式两端取对数得两端求导得整理后便可得6若函数由参数方程的形式给出，则有导数公式能够熟练地利用导数基本公式和导数的四则运算法则、复合函数的求导法则计算函数的导数，能够利用隐函数求导法，取对数求导法，参数表示的函数的求函数的导数

3、。⒋熟练掌握微分运算法则微分四则运算法则与导数四则运算法则类似       一阶微分形式的不变性微分的计算可以归结为导数的计算，但要注意它们之间的不同之处，即函数的微分等于函数的导数与自变量微分的乘积。⒍了解高阶导数的概念；会求显函数的二阶导数。函数的高阶高数即为函数的导数的导数。由此要求函数的二阶导数就要先求函数的一阶导数。要求函数的阶导数就要先求函数的阶导数。导数的应用1．函数的单调性与极值：函数的单调性判别法，函数极值及其求法，6 2.最大值、最小值问题通过学习要达到下列目标： 1.函数的单调性与极值：函数的单调性判别法，函数极值及其求法.  掌握用一阶导数求函数单调区间

4、的方法.2.最大值、最小值问题 掌握求解一些简单的实际问题中最大值和最小值的方法，以几何问题为主.下列类型的题目是要掌握的例1.函数的单调增加区间是　　　　　.解：，当时.故函数的单调增加区间是.例2.应用题　　⑴圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为l，问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大？⑵求曲线上的点，使其到点的距离最短.解：⑴如图所示，圆柱体高与底半径满足              l圆柱体的体积公式为6将代入得求导得             令得，并由此解出.即当底半径，高时，圆柱体的体积最大.⑵曲线上的点到点的距离公式为与在同一点取到最大值，为计算方便求的最大

5、值点，将代入得求导得令得.并由此解出，即曲线上的点和点到点的距离最短.例3．证明题：证明不等式6     证设函数，则有，并且对任意，函数在区间上应用拉格朗日中值定理，得到        其中，即 又由于，有同时除以得即成立.6