高等数学习题精讲之3导数与微分

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1、第3章导数与微分第3章导数与微分§3.1导数1.导数的概念（1）设在有定义，若在处当时，的极限存在，则称为在处的导数，记为，，，即，或几何意义：表示曲线在点处切线的斜率。（2）若在内处处可导，则其导数记为，，，即定义的拓展（3）单侧导数定义左导数右导数（4）可导的充要条件，则2.导数的运算法则（1）设，在处可导，则；；（2）基本求导公式80第3章导数与微分（3）复合函数求导法：设在处可导，则一般地，若，则（4）隐含数求导法（设是方程确定的隐含数）直接法：方程两边对求导，其中是的复合函数；微分法：利用微分形式不变性，两边微分后解出；公式法

2、：（5）取对数求导法：特别地，，（6）反函数求导法：设的反函数为，，，80第3章导数与微分（7）参数方程求导法：设，则，，，（8）分段函数求导法：一般分段点处要用定义和充分必要条件求导数。（9）高阶导数：若导函数在处可导，则称为的二阶导数，记为，，，类似有高阶求导公式莱布尼兹公式：，§3.2微分1.微分的概念（1）设在有定义，若点取时，可表为其中，是微分系数与无关，是比的高阶无穷小，则称在处可微。称为在处的微分，记为或80第3章导数与微分（2）几何意义：在点取时，为在点沿切线的纵坐标的改变量；为在点分别沿曲线和切线纵坐标的改变量的差（3

3、）在处可微的充分必要条件是：在处可导2.导数、微分与连续的关系可导等价于可微，且。可导必连续，连续未必可导，即可导可微连续3.一阶微分形式不变形设，，其复合函数为，则无论对中间变量还是自变量，函数微分形式一致。即§3.3典型例题解析1．利用导数的定义求极限解题思路若所求极限能化为的形式，则无论极限过程，只要方框内是相同的无穷小量，所求极限是。例1设存在，解原式例2已知存在，且，求解原式例3设存在，求解原式80第3章导数与微分例4已知，，，求解，，故2．利用导数的定义求导数解题思路（1）用定义求复杂函数的定点导数较方便；（2）抽象函数仅知

4、连续条件求其定点导数时须用定义求解；（3）判断函数定点的可导性须用定义和可导的充分必要条件求解；（4）由已知条件和定义求导函数，有时要先求定点的导数或函数值，再求导函数。例6设，求解法1由于，则解法2设，显然在可导，则例7设，其中在的邻域内连续，在点可导，且，，求解80第3章导数与微分例9设在上有定义，满足，且，求解令，，得，则3．分段函数、含绝对值函数的求导及其反问题解题思路（1）分段函数在分段点的导数须用定义和可导的充分必要条件求解；（2）函数由参数式或含绝对值给出时，应先求函数的分段表达式，再求解；（3）由函数连续的三条件及可导的

5、充要条件对各分支列方程，联立求解常数。例11，处处可导，求的导数。解当时，当时，例13设，求并讨论的连续性与可导性解当时，在处连续，从而在连续；80第3章导数与微分；当，时，在处可导，从而在可导例15设，若在可导，求的值解在可导必连续，则，又，则由可导的充要条件得，例16设二阶可导，求解由函数连续三条件得，，由函数可导的充要条件得由函数二阶可导的充要条件得4．复合函数和反函数求导法解题思路（1）复合函数的求导：无论函数是几层复合，从最外层开始按基本初等函数逐层求导，即；（2）若函数由中间变量的形式给出，则需经变量代换求解；（3）函数是反

6、函数解析式时，可先求反函数的导数，则。80第3章导数与微分例17设，求，解令，则，，例18设，，求解设，则，例19设在内可导，且，，求在内的表达式。解由于，则由于在连续，且，则，，令，，；例21记，，，求，解由反函数求导法得，再由复合函数求导法得80第3章导数与微分5．隐函数、幂指函数与取对数求导法解题思路（1）直接法求隐含数导数注意，是中间变量，含的函数求导后要乘上，即；（2）当所给函数是由幂指函数或较多乘除因子构成时，可取对数化为隐函数求导，或直接用公式求导。例22已知，求解法1取对数求导得解法2由公式得例23设，其中二阶导数，且，

7、求，解例25设，，且，均可导，求分析这是复合函数求导与隐函数求导的综合题，中的由方程确定80第3章导数与微分解6．参数方程和极坐标方程求导解题思路：微商的概念：一阶导数是函数的微分与自变量微分微分之商；二阶导数是导数的微分与自变量微分之商；；阶导数是阶导数的微分与自变量微分之商，则；；；例26设函数，求解；，，例27求极坐标下的曲线在点处的切线在直角坐标系下的方程解将化为参数方程，则切点为，，故切线方程为7．利用变量替换化简常微分方程例29（令）解令，，，则80第3章导数与微分代入方程得8．函数高阶导数的求法解题思路1直接法：（1）对函

8、数逐阶求导，分析其规律并归纳出阶导数的表达式；（2）利用莱布尼兹法则求乘积的阶导数；（3）利用已知条件和数学归纳法求解例31求下列函数的阶导数（1）解；；；；（2）解（）例32设函数具有任意阶导数，且，证明