高等数学习题详解-第3章导数与微分

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1、习题3-11．设某产品的总成本C是产量q的函数:，求(1)从到时，自变量的改变量；(2)从到时，函数的改变量；(3)从到时，函数的平均变化率；(4)总成本在处的变化率.解：(1)=102-100=2,(2)=(3)函数的平均变化率为.(4)总成本在处的变化率为2．设，根据导数定义求.解3．根据函数导数定义，证明证　根据函数导数定义及“和差化积”公式，得.4．已知，求下列极限：(1)(2)解(1)(2)=5．已知，计算极限解6．求下列函数的导数：(1)；(2)；-16-(3)；(4);(5)；(6)解(1)；

2、(2)；(3)；(4);(5)；(6)7．问函数在处是否可导？如可导，求其导数.解考察处的左、右导数==,所以，函数在处的可导，且.8．讨论函数在点和处的连续性与可导性.解(1)考察处的左、右导数==,所以，函数在处不可导；又,所以，函数在处连续.(2)考察处的左、右导数==所以，函数在处的可导，且.9．求等边双曲线在点处的切线的斜率,并写出在该点处的切线方程和法线方程.-16-解　由导数的几何意义，得切线斜率为所求切线方程为即法线方程为即10．求曲线在点处的切线与轴的交点.解　曲线在点处的切线斜率为故切线

3、方程为.上式中，令，得.所以，曲线在点处的切线与轴的交点为.习题3-21．求下列函数的导数：(1)；(2)；(3)；(4)(5)；(6)解(1);(2);(3)=;(4)(5)；(6).2．求下列函数在给定点处的导数：(1)求；(2)，求　-16-(3)，求.解(1)===(2)=(3)，故3．曲线上哪一点的切线与直线平行？　解,令，即，得或，代入原曲线方程都有：，故所求点为：或.4．求下列函数的导数：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7);(8)；(9)；(10)解(1)；(2)；(3)；

4、(4)=;(5)；-16-(6)=；(7)=;(8)=；(9)=；(10)=.5．已知可导，求下列函数的的导数：(1)；(2).解(1)=(2)=.习题3-31．求下列由方程所确定的隐函数的导数：(1)；(2)；;(3)；(4).解(1)方程两边同时对自变量求导，得,整理得,故；(2)整理求得=(3)求得=-16-(4)整理求得故=.2．求曲线在点处的切线方程和法线方程.解方程两边同时对自变量求导，得解得=，在点处，，于是，在点处的切线方程为，即,法线方程为即.3．用对数求导法求下列各函数的导数:(1)；(

5、2)；(3)；(4).解(1)等式两边取对数两边对求导得故.(2)(3)得.(4)=4．求下列参数方程所确定的函数的导数：-16-(1)；(2).解(1)(2)=5．求椭圆在相应点处的切线方程.解.时，切线斜率为，，.故所求切线方程为.习题3-41．求函数当由1改变到1.005的微分.解因为由题设条件知，故所求微分为2．求函数在处的微分.解所求微分为=3．求下列各微分:(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).解(1)==；(2)；(3)；(4)-16-;(5)方程两边对求微分.整理得解得；(6)方程

6、两边对求微分.整理得解得4．计算下列各数的近似值:(1)；(2).解(1)=1.03；(2)=1.975.5．在下列等式的括号中填入适当的函数,使等式成立.(1);(2);(3)；(4).解(1);(2);(3)；(4)即，故.习题3-51．求下列函数的二阶导数：(1)；(2)；(3)；(4).解(1),；(2),=；(3),==；(4),,=2.验证函数(其中为任意常数)满足方程-16-.证：,.3．设函数二阶可导，求下列函数的二阶导数：(1)；(2).解(1)求导数，于是=(2)=.4．对下列方程所确定

7、的函数求：(1)；(2).解(1)方程两边对求导得.因此求得==；(2)方程两边对求导得.因此求得=-16-5．对下列参数方程所确定的函数求：(1)；(2).解(1).故=；(2).故6．求下列函数的n阶导数：(1)；(2)；(3)；(4).解(1)=；(2),；(3),故;(4)-16-复习题3（A）1．已知(为常数)，则(1);(2)(3).1.解(1)2;(2);(3)3.(1)=2;(2)=;(3)==3.2．函数在点处的左导数和右导数都存在，是在可导的()A.充分必要条件；B.充分但非必要条件；C

8、.必要但非充分条件；D.既非充分又非必要条件.2．答C.在可导的充分必要条件是和都必须存在且相等；反之，和都存在，不能保证在可导.3．函数在处()A.可导；B.连续但不可导；C.不连续；D.极限不存在.3．答B.函数在连续；但，故在不可导.4．设对定义域中的任意均满足，且则必有()A.不存在；B.；C.；D..4．答D.5．解答下列各题：(1)设，求；-16-(2)设，求；(3)设，可导，求；(4)，求；(5)求