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《高等数学习题详解-第4章 微分中值定理与导数的应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、习题4-11．验证下列各题的正确性，并求满足结论的的值：(1)验证函数在区间上满足罗尔定理；(2)验证函数在上满足拉格朗日中值定理；(3)验证函数在区间上满足柯西中值定理.解：(1)显然在上连续，在内可导，且，又，可见在内，存在一点使(2)在上连续，，即知在内可导，由得，即在内存在使拉格朗日中值公式成立.(3)显然函数在区间上连续，在开区间内可导，且于是满足柯西中值定理的条件.由于令得取则等式成立.这就验证了柯西中值定理对所给函数在所给区间上的正确性.2．不求导数函数的导数,判断方程有几个实根，并指出
2、这些根的范围.解因为所以在闭区间和上均满足罗尔定理的三个条件，从而，在内至少存在一点使即是的一个零点；又在内至少存在一点使即是的一个零点.又因为为二次多项式，最多只能有两个零点，故恰好有两个零点，分别在区间和.3．设函数是定义在处处可导的奇函数，试证对任意正数a，存在,使.证因处处可导，则在上应用拉格朗日中值定理：存在，使.由是奇函数，则上式为,故有.-21-4．应用拉格朗日中值定理证明下列不等式：(1)当时,;(2)若,则.证(1)当时,设则在上满足拉格朗日定理的条件.故由且得：.(2)若,不妨设，
3、令则在上满足拉格朗日定理的条件.故从而.5．应用拉格朗日中值定理的推论证明下列恒等式：(1);(2).证(1)设,又即(2)设,因为，所以,是常数.又,即故.6．设函数在[0,1]上连续,在(0,1)内可导.试证明至少存在一点,使证作辅助函数则在上满足柯西中值定理的条件，故在内至少存在一点使即-21-习题4-21．写出函数在处的四阶泰勒公式.解，于是所求泰勒公式为其中在1与之间.2.写出函数在处的带皮亚诺余项的阶泰勒公式.解，于是所求的带皮亚诺余项的阶泰勒公式为3．求下列函数的带皮亚诺余项的阶麦克劳林
4、公式：(1)；(2).解(1)因为所以-21-.(2)由知故.4.用泰勒公式计算下列极限：(1)；(2).解(1)又从而(2)又从而.5.利用四阶泰勒公式计算下列各数的近似值，并估计误差：(1)；-21-(2).解(1)上式中，取得以代入得，(取小数点后四位)其误差.(2).取得(取小数点后四位)其误差习题4-31．计算下列极限：(1)；(2);(3)；(4)；(5)；(6)；(7);(8);(9);(10);(11);(12);(13);(14);(15);(16);(17);(18);解(1)；-
5、21-(2)=-2;(3)；(4)=1；(5)；=3(6)=-1；(7);(8);(9);(10);(11);(12);(13)-21-;(14);(15),又故=;(16)=,又,故==1;(17);(18).2.设,，,求.解.习题4-41．判断函数的单调性.解又在内，函数单调减少；在内，函数单调增加.2．判断函数在区间的单调性.解,在区间，函数单调减少.3．求下列函数的单调区间：(1)；(2)；-21-(3)；(4).解(1)解方程得当时，在上单调增加；当时，上单调减少；当时，在上单调增加.(2
6、),解方程得，在内，在内单调减少；在内，在单调增加.(3)令解得在处不存在.在内，函数单调增加；在内，函数单调增加；故函数在内函数单调增加；在内，函数单调减少；在内，函数单调增加.(4),,令解得在内，函数单调增加；在内，函数单调减少；在内，函数单调减少；在内，函数单调增加.4．当时，应用单调性证明下列不等式成立：(1)；(2).证(1)令,则.-21-当时,在上单调增加，当时，即，故.(2)设则在上连续，且在内可导，在上单调增加，当时，即又设因为在上连续，在内可导，且当时，又故当时，所以综上，当时，
7、有，证毕.5．证明方程有且只有一个小于1的正根.证令，因在闭区间连续，且.根据零点定理在内有一个零点,即方程至少有一个小于1的正根.在内，所以在内单调增加，即曲线在内与轴至多只有一个交点.综上所述，方程有且只有一个小于1的正根.6．求下列曲线的凹凸区间及拐点：(1)；(2)；(3)；(4).解(1)函数的定义域为令得0+0－0+凹的拐点凸的拐点凹的所以，曲线的凹区间为,凸区间为拐点为和(2)函数的定义域为函数在处不可导，但时，曲线是凸的，时，-21-曲线是凹的.故凹区间为，凸区间为，拐点为；(3)函数
8、的定义域为,令得在，曲线是凹的；在，曲线是凸的；在，曲线是凹的.因此凹区间为,，凸区间为，拐点为和.(4)函数的定义域为,,,令得在处不存在，在，曲线是凸的；在，曲线是凹的；在，曲线是凹的；故凹区间为,，凸区间为，拐点为.7．利用函数的凹凸性证明：若，则不等式成立.证令()，则所要证明的不等式改写为.因此问题转化为要证明在内为凹.由，，因，，故在内为凹，于是不等式成立.习题4-51．求下列函数的极值：(1)；(2);(3);-21-(4);(5);解(1
