高等数学习题精讲之9微分方程初步

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1、第9章常微分方程第9章微分方程初步1.微分方程含有未知函数的导数或微分的方程2.常微分方程未知函数为一元函数的微分方程一般形式：；标准形式：3.微分方程的阶未知函数的导数或微分的最高阶数4.微分方程的解满足微分方程的函数。（1）含任意常数的解称为微分方程的通解，阶微分方程的通解含个独立任意常数；（2）不含任意常数（通解中的任意常数已由初始条件求出）的解称为微分方程的特解；（3）解的图形为方程的积分曲线。§9.1一阶微分方程1.变量可分离的微分方程（1）（2）2.齐次微分方程（1）令，（变量可分离）（2）可化为齐次型3.一阶线性微分方程非齐次方程：；

2、齐次方程：（1）通解公式（2）常数变异法：齐次通解，非齐次通解将代入原方程可得4.伯努利方程435第9章常微分方程令5.全微分方程（）§9.2二阶微分方程1.高阶特型微分方程（1）连续次积分可求解（2）令，，可化为一阶微分方程（3）令，，可化为一阶微分方程2.二阶线性微分方程解的结构二阶线性非齐次方程二阶线性齐次方程（1）若，是齐次方程的两个解，则也是齐次方程的解（2）若，是齐次方程的两个线性无关解，则是齐次方程通解（3）若是齐次方程的通解，是非齐次方程的一个特解，则（非齐次通解齐次通解非齐次特解）（4）若，则特解（5）若，是非齐次方程的两个解，则

3、是齐次方程的解3.二阶常系数线性齐次方程通解的求法435第9章常微分方程二阶常系数线性齐次方程特征方程为，判别式，则通解为4.二阶常系数线性非齐次方程特解的求法二阶常系数线性非齐次方程待定系数法：（1）若，设其中,，均为次多项式（2）若，设（3）若，设其中，，均为次多项式,常数变异法：若齐次方程通解为，设非齐次方程特解为，代入方程得，其中微分算子法：设，，得，，则435第9章常微分方程令，称微分算子多项式，则特解为的运算性质：（1）；（2），；，；（3）；（4）其中，为除以按升幂排列所得商式，其最高次幂为。注意：表示微分，表示积分；，。§9.3典型

4、例题解析1.变量可分离微分方程解法解题思路（1）分离变量后两边取不定积分求通解；（2）若方程含，，等形式项时，可利用相应变量代换（或直接用凑微分法）化为可分离变量方程求解；（3）若方程为（或可化为）或型齐次方程，令或求解；435第9章常微分方程例1求下列微分方程的通解（2）；（2）解原方程变形为令，得，积分得（3）；（3）解令，则，即（4）；（4）解原方程变形为令，，代入方程得，分离变量积分得（5）；（5）解方程变形为，令，，则（6）435第9章常微分方程（6）解由，得，令，则原方程化为，令，，即2.一阶线性微分方程解法解题思路（1）将方程化为的形

5、式，利用通解公式求解；（2）利用常数变异法求解；（3）贝努利型方程可通过变量代换化为一阶线性方程求解。例2求下列微分方程的通解（1）；（1）解法1公式法求解：方程变形为解法2常数变异法求解：齐次方程为，分离变量积分得设原方程通解，代入方程整理得，则（3）；（3）解原方程变形为435第9章常微分方程令，原方程化为（4）（4）解既不是一阶线性方程，也不是贝努利方程，原方程改写为令，方程化为，这是贝努利方程，令，方程化为，通解为习题（2）（2）解这是贝努利方程，令，原方程化为例3设是方程的一个解，求满足条件的特解解将代入方程，得，则由得，故特解为例4设为

6、连续函数，（1）求解初值问题，；（2）若，为常数，求证当时，解（1）由通解公式有435第9章常微分方程，由得，故（2）利用定积分的性质有*3.全微分方程的解法解题思路将方程化为的形式，验证；用凑微分法或公式法求解。通解形式为。例5利用全微分求下列方程的通解（1）解因为，所以原方程是全微分方程，方程改写为通解为（2）解法1，，全微分方程，取点，则通解为（）解法2435第9章常微分方程，，（）4.一阶微分方程综合题解题思路（1）由导数的定义或已知条件列方程求函数解析式；（2）由积分限函数的导数改写积分方程求函数解析式；（3）利用偏导数和全导数关系列方程

7、求函数解析式；（4）利用定积分的性质求函数解析式例6已知在处的增量，且，求，其中时是的高阶无穷小解由导数的定义及题设条件有，即通解为，由得，故特解为，例7设在可微，且满足，，求解，（，否则，与题设矛盾）即，通解为，由得，故例8设有连续导数，且，，其中为任意常数，求435第9章常微分方程解法1由有连续导数，则即，令得又令，得，故特解为解法2令得，两边对求导，令得又得，故特解为例11设函数在上连续，且，对任何成立，又，求，解法1关系式对求导得取，且，则即435第9章常微分方程再对求导得，即，，故解法2关系式对求导得，令，由得再对求导得，即，，故例12设

8、具有连续偏导数，且满足条件，求所满足的一阶微分方程，并求其通解.解由题知，对求导即，通解为习题例9已知，求连续函数解令，则