高等数学习题精讲之8无穷级数

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1、第8章无穷级数第8章无穷级数§8.1常数项级数1．级数的概念（1）数列的各项依次相加所得的表达式称为无穷级数（2），称为级数的前项部分和。（3）若，则收敛，且；若不存在，则发散。收敛原理：收敛，使当，对任何自然数有2.级数的性质（1）若，，则（2）加上或去掉有限项不影响级数的敛散性（3）收敛级数加括号后仍收敛于原级数的和（4）若收敛，则必有注意：（1）与具有相同敛散性；（2）若收敛，发散，则发散；（3）若，均发散，则敛散性不确定；（4）若加括号后级数发散，则原级数发散；若加括号后级数收敛，则原级数敛散性不确定；382第8章无穷级数（5）级数收敛的必

2、要条件常用来判别级数发散。3.正项级数审敛法（设与为正项级数，）（1）正项级数收敛的充分必要条件是其部分和序列有界。（2）比较判别法：若（），则比较法的极限形式：若，则注意：（1）若分母，分子关于的最高次数分别为，则；（2）若当时，，则与具有相同敛散性；（3）当时，，后者较前者趋于的速度快两个重要级数：几何级数；级数（3）比值/根值判别法：（4）积分判别法：若在上非负单调连续，则与具有相同敛散性4.任意项级数（1）交错级数判别法：若满足，则收敛，且其和，其余和382第8章无穷级数常用递减的判别：；；，（2）任意项级数判别法（符号不定）定理表明任意项

3、级数的收敛问题可以转化为正项级数的问题，因此可以用正项级数的判别法判定级数是否绝对收敛。注意：（1）若比值/根值判别法得发散，则必发散；（2）绝对收敛级数的所有正项（或负项）所构成的级数一定收敛；（3）条件收敛级数的所有正项（或负项）所构成的级数一定发散。§8.2幂级数1．幂级数的概念（1）由幂函数构成的级数称为幂级数，即，或（2）阿贝尔定理：（3）收敛半径，收敛区间，收敛域若，则2．收敛半径的求法（1）不缺项情形若，则（2）缺项情形（以为例）382第8章无穷级数，3．幂级数在收敛区间内的性质设，；，（1），（2），（3），（4）幂级数在其收敛区间

4、内的和函数为连续函数；若幂级数在收敛，则其和函数在连续；若幂级数在收敛，则其和函数在连续。（5）幂级数在其收敛区间内可以逐项求导或积分，且其收敛区间不变。4．函数的幂级数展开（1）泰勒级数设在内具有任意阶导数，且泰勒余项，则在处的幂级数为若，则的麦可劳林级数为（2）若能展开为幂级数，则其展开式唯一，即，382第8章无穷级数，（3）常用函数的展开式§8.3典型例题解析1．常数项级数的审敛法解题思路（1）利用已知不等式用比较法求解；（2）利用无穷大与无穷小的主部原则，用比较法的极限形式求解；（3）利用比值法、根值法和积分审敛法求解。例1判别下列正项级数

5、的敛散性（1）；（2）；（4），（）（1）解法1由于，而收敛，故原级数收敛解法2，收敛，故原级数收敛382第8章无穷级数（2）解当时，，收敛，原级数收敛；当时，，原级数发散，所以（4）解，故当时，例2判别下列正项级数的敛散性（1）；（1）解（），由比较法知原级数收敛（2）；（2）解，由根值法知原级数收敛其中，（4）（4）解当时，当时，由积分审敛法知与具有相同敛散性。例3判别下列正项级数的敛散性382第8章无穷级数（1）；（1）解，，则收敛收敛（2）（2）解（4）；（4）解当时，，发散，所以原级数发散；当时，，故发散，所以原级数发散；当时，，故收敛，

6、所以原级数收敛习题（3）；382第8章无穷级数（3）解法1，由于，取，而发散，故发散。解法2，而发散，故发散。（3）；（3）解由于，则（3）；（3）解，，即当即时，因收敛，故收敛；当即时，因发散，故发散。2．常数项级数的有关命题的证明解题思路（1）利用数列极限的定义证明部分和数列极限存在，从而级数收敛；（2）对正项级数部分和适当缩放和拆项处理证明其部分和数列有界，从而级数收敛；（3）利用已知条件及递推关系推出级数收敛的充分必要条件；（4）利用已知不等式和正项级数的相关审敛法证明级数的敛散性。例4证明下列各题（1）若的部分和数列满足，，382第8章无

7、穷级数证明收敛证因为，，，当时，有，故当时，有成立，即，由定义知，收敛。（3）设数列收敛，则收敛的充要条件是收敛证设，记，则必要性：若收敛，则，有收敛充分性：若收敛，则，有收敛（4）设满足，，当时，，证明收敛证法1显然，正项数列是递增的，即，于是则有递推关系：382第8章无穷级数从而有因收敛，由比较法知收敛。证法2由于，设，则，故时有，即，因收敛，所以收敛。例5若收敛，证明下列级数收敛（1）；证（1）因为收敛，所以，由极限的定义，当时，总有由于在级数前面加上或去掉有限项不改变其敛散性收敛收敛收敛收敛。(4)收敛（4）证令，则即，而收敛，故收敛382

8、第8章无穷级数习题（2）；（3）；（2），而，均收敛收敛（3）因为，，收敛，故收敛3．数项级数的绝对收敛与条件收敛解题思路