导数与微分(四)函数与微分

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DDY整理 许多实际问题中常常要求函数的增量。例如：一块正方形铁板，受热后边长由增加到，（见图）问它的面积增加了多少？设边长为，则正方形面积，显然，铁板受热后增加的面积对应函数的增量，即由两部分组成，第一部分是的线性函数，它的系数是函数在处的导数；第二部分当时是的高阶无穷小，即；这样当很小时，问题：是否对于任一函数都是如此呢？第一节中提到的增量公式回答了这一问题。如果函数在处可导，则有增量公式                       7 DDY整理其中称为函数增量的线性主部，也叫做函数在点处的微分，是的高阶无穷小，当很小时，。定义：设函数在处可导，则增量的线性主部称为在处的微分，记作或，即                   。注：（1）规定，所以的微分记作，所以，因此，导数也叫做微商。 （2）由定义知在处可微必可导，可导也必可微。 （3）当很小时，有。所以可用微分作近似计算（很小）     见图，对曲线上的点 ，当变量有增量时，可得曲线上另一点，7 DDY整理，过点作曲线的切线，它的倾角为，则  即所以，当是曲线上的点的纵坐标的增量时，就是曲线的切线上点的纵坐标的相应增量。1.由基本导数公式可得基本微分公式，书中168页的表要背下来。2.函数和、差、积、商的微分法则（C为常数）3.复合函数微分法（微分形式的不变性）设可微（1）当u为自变量时，（2）当时，7 DDY整理求的微分时，可先求出再写出微分，也可利用微分法则和微分形式的不变性。例1设，求解法一 法二例2设，求解法一 法二7 DDY整理 例3设，求当时的微分。解 例4求下列函数的微分（1）（2）可导解 （1）（2）例5填空（1），（2）解 （1）因为，即填。（2）因为，所以填7 DDY整理由微分的定义知，当很小时，有，也即下面的近似计算公式（1）或（很小）（2）例6有一批半径为1cm的球，为了提高球面的光洁度，要镀上一层铜，厚度为0.01cm，估计一下每只球需要用多少克铜（铜的比重是）？解设球体积为，半径为，则，现，求体积的对应改变量，，所以每只球需要铜约为例7求的近似值。解将化成弧度，，设，则，取，利用公式（2）7 DDY整理在（2）式中令，则（2）成为此式说明当在的邻域内可导时，可表示成的线性函数。如果，可得近似公式（很小）利用上式可推出书中151页的几个近似公式。如：；；；。例8求的近似值。解由于，，利用上面第一式，       7