《函数的导数与微分》PPT课件

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1、第二章一元函数的导数与微分本章简介导数与微分是微分学中的两个基本概念。其中导数是研究函数相对于自变量的变化的快慢程度，即函数的变化率；而微分则是指当自变量有微小变化时，函数改变量的近似值。本章重点导数与微分的概念；基本初等函数的求导公式；求导法则。本章难点导数与微分的概念；复合函数的求导法则。第一节导数的概念一、两个引例二、导数的定义三、求导举例四、导数的几何意义五、函数的可导性与连续性的关系本节内容提要本节重点导数的概念；左，右导数的概念：导数的几何意义；函数可导与连续的关系。本节难点导数概念的理解；可导的充要条件；利用导数几何意义求切线（法线）方程；判断函数在一点处是否可导和连续；利

2、用导数定义求导；教学方法启发式教学手段多媒体课件和面授讲解相结合教学课时3课时一、两个引例1、变速直线运动的速度设动点在时刻t在某一直线上的位置坐标为s，于是该动点的运动规律可由函数s=s(t)确定。我们要求在某一t0时刻的瞬时速度v（t0）。在时间段[t0,t0+]内，动点经过的路程为于是即为该时间段内动点的平均速度。它并不是t0时刻的瞬时速度v（t0），但是如果时间间隔较短，则有。显然，时间间隔越短，平均速度与瞬时速度v（t0）的近似程度就越好。也就是说，当无限缩短时，平均速度就会无限接近于瞬时速度v（t0），而运用我们第一章所学的极限概念，就有这样，该极限值就是t0时刻的瞬时速度v

3、（t0）。2、曲线的切线设有曲线C及C上一点M，在点M外另取C上一点N做割线MN。当N沿曲线C趋于点M时，如果割线MN的极限位置为MT，则称直线MT为曲线C在点M处的切线。设割线MN与X轴的夹角为切线MT与X轴的夹角为。曲线方程为y=f(x),点M的坐标为(x0，y0)，点N的坐标为。于是，割线MN的斜率为：。当点N沿曲线C趋向点M时，就有，割线的斜率就会无限接近切线的斜率,又由极限的定义，有即为切线的斜率。二、导数的定义上面所讨论的两个问题，一个是物理问题，一个是几何问题。但是当我们抛开它们的具体意义而只考虑其中的数量关系时，就会发现本质上完全相同的一个极限：即因变量的改变量与自变量的

4、改变量之比，当自变量的改变量趋于0时的极限。这就是导数。1、定义设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义，当自变量x在x0处取得增量时，相应的函数y取得增量在x0点处的导数，称为x0点的导数值。注：导数的定义也可取如下两种形式：2、区间可导和导函数(1)如果函数y=f(x)在某个开区间（a,b）内每一点x处均可导，则称函数y=f(x)在区间（a,b）内可导。(2)若函数y=f(x)在某一范围内每一点均可导，则在该范围内每取一个自变量x的值，就可得到一个唯一对应的导数值，这就构成了一个新的函数，称为原函数y=f(x)的导函数，记做导函数往往简称为导数。用极限表示为：3、左右导数(1)称

5、左极限为函数f(x)在x0点的左导数，记做。(2)称右极限为函数f(x)在x0点的右导数，记做。4、可导的充要条件函数y=f(x)在点x0处可导的充要条件是左右导数都存在且相等。三、求导举例根据导数定义求导，可分为如下三个步骤：四、导数的几何意义函数y=f(x)在处的导数在几何上表示曲线y=f(x)在处的切线的斜率，即,α为切线与x轴正向的夹角。根据点斜式直线方程，可得处的切线方程为：相应点处的法线方程为：可导性与连续的关系：若函数f(x)在点x可导，则它在点x处必连续。而若函数在该点连续却不一定可导。五、函数的可导性与连续性的关系