高考数学总复习 基础知识 第二章 第十五节用导数解决生活中的优化问题 理.doc

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1、第十五节　用导数解决生活中的优化问题会利用导数解决某些实际问题知识梳理　优化问题：社会经济生活、生产实践与科学研究等实际问题中有关求利润________、用料________、效率________等问题通常称为________问题．利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤：(1)分析实际问题中各个量之间的关系，建立实际问题的________，写出实际问题中______，根据实际问题确定定义域；(2)求函数y＝f(x)的______，解方程________，得出定义域内的实根，确定________；(3)比较函数在________和________的函数值的大小，获得所求函数的最大(小)值；

2、(4)还原到实际问题中作答．基础自测1．以长为10的线段AB为直径作半圆，则它的内接矩形面积的最大值为(　　)A．10　　　　B．15　　　　C．25　　　　D．50答案：C2．某产品的销售收入y1(万元)是产品x(千台)的函数，y1＝17x2，生产总成本y2(万元)也是x的函数，y2＝2x3－x2(x＞0)，为使利润最大，应生产(　　)A．9千台B．8千台C．6千台D．3千台解析：f(x)＝y1－y2＝－2x3＋18x2，f′(x)＝－6x2＋36x＝0，x＝6，故选C.答案：C3．一个物体的运动方程为s＝1－t＋t2，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是(　　

3、)A．7米/秒B．6米/秒C．5米/秒D．8米/秒解析：由导数的物理意义知，位移的导数是瞬时速度，由s＝1－t＋t2求导得v＝s′＝－1＋2t，当t＝3时，v＝5.故选C.答案：C4.当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S时，它的底面半径_________时，才能使饮料罐的体积最大.解析：设圆柱形金属饮料罐的底面半径为R，高为h.S＝2πRh＋2πR2⇒h＝⇒V(R)＝πR2＝(S－2πR2)R＝SR－πR3⇒V′(R)＝S－3πR2，令V′(R)＝0，∴R＝.因V(R)只有一个极值点，故它就是最大值点．答案：1．放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称

4、为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M(单位：太贝克)与时间t(单位：年)满足函数关系M(t)＝M02－，其中M0为t＝0时铯137的含量．已知t＝30时，铯137的含量的变化率是－10ln2(单位：太贝克/年)，则M(60)＝(　　)A．5太贝克　　　　　　　B．75ln2太贝克C．150ln2太贝克D．150太贝克解析：因为M′(t)＝－ln2×M02－，则M′(30)＝－ln2×M02－＝－10ln2，解得M0＝600，所以M(t)＝600×2－，那么M(60)＝600×2－＝600×＝150(太贝克)．故选D.答案：D2．某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日

5、的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2，其中3＜x＜6，a为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．解析：(1)因为x＝5时，y＝11，所以＋10＝11⇒a＝2.(2)由(1)知该商品每日的销售量y＝＋10(x－6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润为f(x)＝(x－3)＋10(x－6)2＝2＋10(x－3)(x－6)2,3＜x＜6.f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)(x

6、－6)，3

7、斜率为定值，表明增长速度不变．故选B.答案：B2．一艘轮船在航行中每小时的燃料费和它的速度的立方成正比，已知当速度为10km/h时燃料费是6元/h，而其他与速度无关的费用是96元/h，问轮船以何种速度航行时，能使行使路程的费用总和最小？解析：设船的行使速度为xkm/h(x＞0)时，燃料费用为Q元/h，则Q＝kx3，则6＝k·103，∴k＝，从而Q＝x3，设总费用为y元，行驶路程为a，则y＝·＝a，∴y′＝a，令y′＝＝0得x＝20，