高考数学复习点拨 运用导数解决生活中的优化问题

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1、运用导数解决生活中的优化问题在现实生活与生产中，我们常常会遇到一定条件下，怎样是材料最省、效率最高、性能最好、生产过程最优等问题.在一个企业中这些至关重要的优化问题，在许多情况下可以利用导数求函数最大（小）値问题最为简捷.下面举例说明.一、设计产品规格问题_x_x_60_60xx例1在边长为60cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？解法一：设箱底边长为xcm，则箱高cm，得箱子容积．令＝0，解得x=0（舍去），x=40，并求得V(40)=16000由题意可知，当x过小（接近0

2、）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16000是最大值答：当x=40cm时，箱子容积最大，最大容积是16000cm3解法二：设箱高为xcm，则箱底长为(60-2x)cm，则得箱子容积．（后面同解法一，略）由题意可知，当x过小或过大时箱子容积很小，所以最大值出现在极值点处．事实上，可导函数、在各自的定义域中都只有一个极值点，因而这个极值点就是最值点，不必考虑端点的函数值例2圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？解：设圆柱的高为h，底半径为R，则表面积S=2πRh+2πR2由V=πR2h，得，则S(R)=2πR+2πR2=+2πR2令+

3、4πR=0解得，R=，从而h====2即h=2R因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省变式：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用材料最省？提示：S=2+h=V(R)=R=)=0．点评：以上两题通过设变量，由题意得到一个函数，再确定它的取值范围，用导数研究目标函数的最大（小）值，是解本题的关键.二、计划产量问题例3、某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量（吨）与每吨产品的价格之间的关系式为：，且生产的成本为（元），问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？分析：解本题的关键是利用“利

4、润=收入-成本”这一等量关系，建立目标函数，注意确定函数的定义域，然后利用导数求最值.解：设每月生产吨时的利润为=由得（舍）在内只有一个点使又，（当）；在点，，故它就是最大值点，且最大值为（元）.所以该厂每月生产产品才能使利润达到最广大，最大利润是3150000元.点评：在实际应用问题中，如果所建立的目标函数在给定的定义域内的极值只有一个，则往往就为题中所求的最值.