高考数学复习点拨运用导数探究曲线的切线问题

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1、运用导数探究曲线的切线问题导数与曲线的切线有缘，因为.厂Go)的儿何意义是曲线y二f(x)在点(X。，Axo))处的切线斜率，其物理意义通常指物体运动时的瞬时速度。曲线的切线反映了曲线的变化情况,体现了微积分中重要的思想方法一一以直代曲。因此，利用导数求解曲线的问题，儿乎是新课程高考每年必考的内容。在这类问题屮，导数所肩负的任务是求切线的斜率，这类问题的核心部分是考査函数的思想方法和解析儿何的基本思想方法，真正体现出函数、导数既是研究的对象乂是研究的工具。举例说明。例1已知函数/(x)=x+-(r>0)和点P(1,O),过点F作曲

2、线y=/(x)的两条切线xPM、PN,切点分别为M、N.(1)设=试求函数g(f)的表达式；(2)是否存在/,使得M、N与4(0,1)三点共线.若存在，求出孑的值；若不存在，请说明理由.分析：由题意点戶在曲线外，故求切线PM、PN的方程，须设岀M、N两点的横坐标，目的是借助导数求直线的斜率；第二问属探索性问题，往往是先假设存在，看是否能求得符合条件的t或导岀矛盾。解：(1)设M、N两点的横处标分别为旺、兀2,I广⑴=1一厶，・•・切线的方程为：y-(x}+—)=(1—-)(兀—旺)，又・・•切线PM过点P(1,O),.•.有0-(

3、%.+—)=(1一-)(1一西)，即xJ+2体—/=0,同理，由切线PN也过点P(1,O),xx/由(1).(2),可得“，兀2是方程X2+2tx-t=0的两根,%!+—_2/,尢]•尢2=_/•mn二(旺_兀+匕+__花__尸=(歼_勺尸[i+(i—)2]VX,x2VX]尢2[(x1+x2)2-4x1x2][1+(1戸,“2把(*)式代入,得MN=720r2+20r，因此，函数g⑴的表达式为g(/)=血斥+20f(r>0).(2)当点M、N与人共线时，kMA=kNA92即匕二=空十1,化简,得(兀2一Xy)[t(x2+X])

4、—兀1兀2]=0,把(*)式代入，解得•/兀]工兀2，•:'(兀2+*1)=X2X•.•・存在f,使得点A/、N与A三点共线，Hf=丄.2点评：本题以函数为载体，综合考查了函数与导数的有关问题。解题的关键是借助导数作为工具，采用设而不求的方法，求出M、N两点的横处标所满足的方程，进而运用两点间的距离公式求出函数g(/)的农达式。例2(2007年全国卷II理22题)已知函数f(x)=x3-x.(1)求曲线y=/(兀)在点M(/,/(O)处的切线方程;(2)设a>0,如果过点(偽b)可作曲线y=f(x)的三条切线,证明：-a

5、(a).分析：木题第一问，由导数的儿何意义容易求解切线方程问题；第二问难点在于由条件“过点⑺，b)可作曲线y=/(x)的三条切线”找到解题的切入点，关键是先把问题转化为方程问题来求解。解:(1)求函数/(力的导数；/r(x)=3x2-l.曲线y=f(x)在点M(f,/⑴)处的切线方程为：>-/(/)=/r)(x-r),即y=Ot2-l)x-2t3・(2)如果有一条切线过点⑺，b),则存在r,使b=(3t2-l)a-2t于是，若过点(a,b)可作曲线y=f(x)的三条切线，则方程2户—3/2+d+b=O有三个相异的实数根.记g⑴

6、=2t3-3at2+a+b,贝Ugf(t)=6t2-6at=6tt-a).当f变化时，g(“g'(r)变化情况如卜•表:t(-00,0)0(0,a)a(d，+00)g©+0—0+g(r)J极大值a+b极小值b-f(a)J由g(r)的单调性,当极大值a+b<0或极小值b-f(a)>0时,方程g(t)=0最多有-个实数根;当a+b=0时，解方程g(/)=0得r=0,一，即方程g(r)=0只有两个相异的实数根；当b-f(a)=0时，解方程g(t)=0得t=--,t=a，即方程g(t)=0只有两个相异的实数根.综上，如果过(a,b)可作

7、曲线y=/(x)三条切线，即g⑴=0有三个相异的实数根，a+b>0,b-f(a)<0.点评：从木题可看出，导数已成为高考命题的一个重要工具，通过导数实现了函数与方程、不等式、曲线的切线等多个知识点的交汇，并渗透着数形结合、分类讨论等亜要的数学思想方法。此题只要把切线问题转化为方程根的个数问题，运用数形结合，很容易发现g(/)=0有三个相异的实数根时，极大值和极小值只能满足a+b>0和b-/(d)v0,但完整的代数推理，应该将前三种情况也要讨论出來才行。例3己知函数f(x)=]nxtg(x)=丄/+»,mHO.设函数f(x)的图象C

8、i与函数g(x)2图象G交于点只Q,过线段％的中点作x轴的垂线分别交G,G于点M、M证明G在点•傢处的切线与Q在点河处的切线不平行.分析：由题意，本题应该先设出点化0的坐标，进而表示iii点•仏河的横朋标，实质上是要分别写出在点弘艸处的切线斜率，然