运用导数探究曲线的切线问题

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1、运用导数探究曲线的切线间题山东黄丽生导数与曲线的切线有缘，因为/'(兀0)的几何意义是曲线y=/(x)在点(X。，Axo))处的切线斜率，其物理意义通常指物体运动吋的瞬时速度。曲线的切线反映了曲线的变化悄况,体现了微枳分中重要的思想方法——以直代曲。因此利川导数求解曲线的问题，几乎是新课程高考每年必考的内容。在这类问题中，导数所肩负的任务是求切线的斜率，这类问题的核心部分是考杏函数的思想方法和解析几何的基木思想方法，真正体现出函数、导数既是研究的对象又是研究的工具。举例说明。例1已知函数/(x)=

2、x+-(r>0)和点P(l,0),过点P作曲线y=f(x)的两条切线兀PM、/W,切点分别为M、N・(1)设二g(f),试求两数g(r)的表达式；(2)是否存在(，使得M、N与A(0,l)三点共线.若存在，求出f的值；若不存在，请说明理由.解：(1)设M、N两点的横坐标分别为西、兀2,分析：由题意点P在Illi线外，故求切线PM、PN的方程，须设出M、N两点的横坐标，日的是借助导数求直线的斜率；第二问属探索性问题，往往是先假设存在，看是否能求得符合条件的/或导出矛厉。的方程为：J-+—)二二(1一

3、一)(x-xt),又・・•切线PM过点P(l,0),・••有y,(x)=l--L,・・・切线PMX0-(^+—)=(1一-)(1一西)，即州2+2体一/=0,同理，由切线PN也过点P(l,0),2兀2由(1)、(2),可得兀］,兀2是方程+2tx-t=0的两根,环十W+3+'-兀2--)2屮r)2卩+(】-石门［(兀］+X2)2—4兀［兀2】［1+(1)2］'兀“2把(*)式代入，得MN=V20?+20r，因此，函数g(/)的表达式为g(t)=丁20尸+20/(r>0).H1兀21(2)当点M

4、、N与A共线时，kMA=kNA,・•・=——,X］—0x2-022即'+［"='+［，化简，得(兀2—兀］)"(兀2+兀1)一西也］=0，E兀2J兀［工兀2，・•・“兀2+兀1)=花西•把(*)式代入，解得T=*.・•・存在/,使得点M、N与A三点共线，且/二丄.2点评：本题以函数为载体，综合考查了函数与导数的有关问题。解题的关键是借助导数作为工具，采用设而不求的方法，求l\M.N两点的横坐标所满足的方程，进而运用两点间的距离公式求出函数g(t)的表达式。例2(2007年全国卷II理22题)已知

5、函数f(x)=x3-x.(1)求曲线y=f(x)在点M(f,f(t))处的切线方程;(2)设6/>0,如果过点(q,b)可作曲线y=/(兀)的三条切线，证明：—dvbv/(d).分析：本题第一问，由导数的几何意义容易求解切线方程问题；第二问难点在于由条件“过点⑺，方)可作llll线y=/(兀)的三条切线”找到解题的切入点，关键是先把问题转化为方程问题来求解。解：(1)求函数/(劝的导数；f(x)=3x2-1.曲线y=/(x)在点A/(r,/(/))处的切线方程为：y-f(t)=fXt)(x-t),

6、即y=(3t2-i)x-2t3.(2)如果有一条切线过点(a,b),则存在t,使b=Ot2-l)a-2t于是,若过点⑺，彷)可作曲线y=f(x)的三条切线,则方程2户—3/2+d+b=0有三个相异的实数根.记g(r)=2?-3at2+ab,贝ijgt)=6t2-6at=6/(/-6/).当/变化时，g⑴,g'(/)变化情况如下表：t(一8,0)0(0,a)a(o+x)g©)+0—0+g(r)极人值a+b极小值b-f(a)山g(/)的单调性，当极大值a+b<0或极小值b-f(a)>0时，方程g(

7、/)=0最多有-个实数根;当"=0时，解方程g(f)=o得r=0,/二一，即方程刖=0只有两个相异的实2数根；当b-f(a)=0时，解方程g(/)=0得/=t=a.即方程g(t)=0只有两个相界2的实数根.综上，如果过(G,方)可作Illi线)=/(兀)三条切线，即曲)=0有三个相异的实数根，即一a

8、化为方程根的个数问题，运用数形结合，很容易发现g(/)=0有三个相异的实数根时，极大值和极小值只能满足a+b>0和b_f(a)<0,但完整的代数推理，应该将前三种情况也要讨论出來才行。例3己知函数./U)=lnA,gCr)=*o?+bx,aHO.设函数.心)的图彖G与函数g(x)图彖C2交于点P、Q,过线段PQ的中点作兀轴的垂线分别交C”G于点M、N,证明G在点M处的切线与C?在点W处的切线不平行.分析:由题意，木题应该先设出点P、Q的坐标，进而表示出点M、N的横处标，实质上是要分