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1、曲线切线的导数求解法及其运用张永宁福建省三明市第九中学(365001)众所周知，导数)「=/'(%)的几何意义，是曲线y=/(%)以P(兀()J(x(J)为切点所作切线的斜率.相对于传统知识而言，rfl导数所衍主出的“Illi线的切线问题”，在思路、方法及过程上，都使人耳目一•新，彰显出其别具一格的魅力.尽管如此，目询在高中数学教学中，对此类问题的要求仍不高，试题的设置基本停留在“己知切点求斜率”的难度上.然而，随着对学生综合能力要求的不断捉髙，对“导数的理解与运用”的研究也将不断深化.基于此，本文拟对“导数在曲线切线中的运用”进行尝试性的探讨.一、深刻理解曲线的切线.在解析几何屮，圆
2、与圆锥曲线的切线定义为：与1111线只有一个公共点并且位于曲线一边的宜线叫切线.山此定义，对圆或圆锥曲线的切线的处理，往往是将总线方程与曲线方程进行联立，用一元二次方程的理论加以解决.这种思维方式与解题策略已成为传统的、经典的和冇效的，并在教学人纲和高考考纲屮,有着明确地要求.然而，针对以函数形式所表示的一般曲线的切线问题，“圆与圆锥曲线的切线定义”L1不再适用，其解题思路与方法当然也应另辟溪径.对于一般曲线的切线定义为：设曲线C是函数y=f(x)的图象，点尸(兀0」°)是1111线C上一点，作割线PQ,当点0沿着曲线C无限地趋近于点P,割线P0无限地趋近于某一极限位置PT,我们就把极
3、限位置上的直线PT，叫做曲线C在点P处的切线.显然，切线的这种定义更为准确和更具一般性，它体现了由“量变到质变”的唯物辩证法，体现了有限与无限的数学思想，明确了切线是割线的极限情况，从而将切线的斜率问题化归为割线(曲线上两点Z间的连线)的斜率问题(切线的斜率是割线斜率的极限，即为切点处的导数值).这样一来，类似于“肓线y=0是否为曲线y=x3的切线”的问题就迎刃而解了，同时，也预示看切线与Illi线的公共点可以不止一个.不仅如此，它还为Illi线切线的求解提供了理论依据和简洁明了的方法.例1.求与直线l:x-43y-=0成30°角且与曲线C:y=j3x3相切的切线方程.解：由于直线/
4、:x-V3y-l=0的斜率为—，其倾斜角为30。,故所求切线的倾斜角为60°或0。,即切线斜率分别为命或0,所以可设切线为y=a/3x+h或歹=加(其中/?、mwR为常数).对于曲线C:y=y/3x其导函数为#=3圾2,当切线为y=+b吋,有当切线为y=m时，解得m=0即切线为)，=0・设切点为(兀0，凤),解得“±彳,即切线为尸岳±
5、;综上得:所求切线的方程为y=V3x±j或〉，=0・由此例可以看出，对于以函数形式所表示的一般曲线的切线问题，用导数方法来解决，是行Z有效的.二、运用导数法求已知曲线的切线方程.我们经常会遇到这样的试题：已知函数/(x)=/+l,求曲线y=f(x)在点
6、P(l,2)处的切线方程.根据定义，求曲线y=f(x)在点P(l,2)处的切线，就是求“以点P(l,2)为切点，以/,(1)=3x2
7、x=1=3为斜率”的直线方程，即为y=3x-l.若将问题进行进一步变式，乂会怎样呢？例2.(变式一)已知函数/(%)=/+1,求曲线y=fM经过点P(l,2)的切线方程.注意：虽然点P(l,2)在曲线上，但“在点P(l,2)处”与“经过点P(l,2)”有着本质的区别•“在点P(l,2)处”是指以P(l,2)为切点,而“经过点P(l,2)”则意味着P(l,2)可以是切点，也可以不是切点.因此，木题解法可进行分类解决(分为点P是或不是切点这两类情况)，也可采
8、用如F解法.解：由题意，设切点为(x0,/U0)),即为(兀。,兀：+1),则经过点P(l,2)的切线方程为/：y-2=r(x0)(x-1)・又广(兀。)=3球,且切线Z经过切点,故(总+1)_2=3总(兀°_1)，13解得：兀0=1或兀0=—，・••广(兀o)=3或一，即所求切线方程为3x—y—l=0或3x-4y+5=0.事实上，切线3x-y-l=0恰以点P(l,2)为切点，而3兀-4y+5=0仅仅是经过点P的切线，其切点为例3.(变式二)已知函数f(x)=^x3-x+lf求曲线y=/M经过点P(l,0)的切线方程.很明显，点P(l,0)不在曲线上，当然谈不上是切点，但解题方法仍可与
9、例2相同(解题过程省略，所求切线方程为x+y-l=0或5x-4y-5=0).通过上述两例可以说明，无论点P是否在曲线上、是否为曲线的切点，我们都可以用“统一”的解题策略及方法求解出“已知曲线的、R经过点P的”切线方程.三、与切线相关的综合问题.在导数背景下的切线问题，远不止仅停留在“求解”的层面上.导数的几何意义，促使函数与解析几何等知识，在知识网络的交汇处产生了“共鸣”，为我们在知识的掌握与方法的运用上，捉供了町进一步拓展的空间.例4.已知函
