利用导数解决生活中的优化问题.doc

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1、利用导数解决生活中的优化问题　　导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：1、与几何有关的最值问题；2、与物理学有关的最值问题；3、与利润及其成本有关的最值问题；4、效率最值问题。　　一．解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．　　二．利用导数解决优化问题的基本思路：建立数学模型解决数学模型作答用函数表示的数学

2、问题优化问题用导数解决数学问题优化问题的答案　　三、应用举例　　例1（体积最大问题）用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？　　解：设长方体的宽为，则长为，高为．故长方体的体积为　　．　　从而．　　令，解得（舍去）或，因此．　　当时，；当时，．　　故在处取得极大值，并且这个极大值就是的最大值．　　从而最大体积，此时长方体的长为，高为．　　答：当长方体的长为，宽为，高为时，体积最大，最大体积为．　　点评：用导数来解决实际问题时，一般首确定自变量，选定了自变量，要搞清自变量的范围，再

3、列出关系式，对关系式进行求导，最后求出最值来。　　例2（帐篷设计问题）请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥。试问当帐篷的顶点O到底面中心的距离为多少时，帐篷的体积最大？　　解：设OO1为xm,则由题设可得正六棱锥底面边长为（单位：m）于是底面正六边形的面积为：m2帐篷的体积为m3求导数，得令解得x=-2(不合题意，舍去),x=2.当1

4、的基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力。求解关键是设法构建函数关系，将实际问题如何转化为数学问题，再利用导数求解.　　例3（瞬时速度问题）若已知某质点的运动方程为S(t)=－at，要使在t∈[0,+∞]上的每一时刻的瞬时速度的绝对值都不大于1，求实数a的取值范围。　　解：S’(t)=.∵

5、S’(t)

6、≤1，∴≤1，　　∴，即　　当t∈[0,+∞]时，（）min=1，∴a≤1.　　当tà+∞时，，且连续递增，所有值都小于1，　　∴a≥0.故实数a的取值范围是0≤a≤1。　　点评：①质点运动方程S(t)的导数S’(t)的物理意义就是质点在时刻t的瞬时速度.②利用导数

7、的物理意义列出不等式,根据不等式在t∈[0,+∞﹞上恒成立，求出a的取值范围.　　例4（容器的容积最大）用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边形翻转角，再焊接而成．问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？　　解：设容器高为xcm，容器的容积为cm，则　　=x(90－2x)(48－2x)=4x－276x＋4320x(0＜x＜24．　　求=12x－552x＋4320=12(x－46x＋360)=12(x－10)(x－36)．　　令=0，得x=10，x=36(舍去)，　　当0＜x＜10时，＞0，那么为增

8、函数；　　当10＜x＜24时，＜0，那么为减函数．　　因此，在定义域(0，24内，函数只有当x=10时取得最大值，其最大值为：　　=10×(90－20)(48－20)=19600(cm)．　　所以当容器的高为10cm时，容器的容积最大，最大容积为19600cm．　　点评：函数的应用题主要存在于用料最省、造价最低、利润最大等最优化问题中，由于函数的应用性问题是一种最广泛，实用性又极强的问题，并且利用导数运算工具简化了运算量，所以函数应用题已成为高考的一大热点．　　例5（水库的蓄水量问题）水库的蓄水量随时间而变化，现用表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年数据，某水库的

9、蓄水量（单位：亿立方米）关于的近似函数关系式为　　　　（Ⅰ）该水库的蓄求量小于50的时期称为枯水期.以表示第1月份（）,同一年内哪几个月份是枯水期？　　（Ⅱ）求一年内该水库的最大蓄水量（取计算）.　　解：（Ⅰ）①当时，，化简得,　　解得，或，又，故.　　②当时，，化简得,　　解得，又,故.　　综合得,或；　　故知枯水期为1月，2月，3月，11月，12月共5个月.　　(Ⅱ)(Ⅰ)知：V(t)的最大值只能在（4，10）内达到.　　由V′（t）=　　令V′(t)=0,解得t=8(t=-2舍去).　　当t变化时，V′(t)与V(t)的变化情况如下