用导数解决生活中的优化问题 文 2

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1、会利用导数解决某些实际问题知识梳理　优化问题：社会经济生活、生产实践与科学研究等实际问题中有关求利润________、用料________、效率________等问题通常称为________问题．利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤：(1)分析实际问题中各个量之间的关系，建立实际问题的________，写出实际问题中____________________，根据实际问题确定定义域；(2)求函数y＝f(x)的__________，解方程__________，得出定义域内的实根，确定________；(3)比较函数在________和________的函数值

2、的大小，获得所求函数的最大(小)值；(4)还原到实际问题中作答．最大　最省　最高　优化　(1)数学模型　变量间的函数关系式y＝f(x)　(2)导数f′(x)　f′(x)＝0　极值点　(3)区间端点　极值点基础自测1．以长为10的线段AB为直径作半圆，则它的内接矩形面积的最大值为(　　)A．10　　　　B．15　　　　C．25　　　　D．50答案：C2．某产品的销售收入y1(万元)是产品x(千台)的函数，y1＝17x2，生产总成本y2(万元)也是x的函数，y2＝2x3－x2(x＞0)，为使利润最大，应生产(　　)A．9千台B．8千台C．6千台D．3千台4解析

3、：f(x)＝y1－y2＝－2x3＋18x2，f′(x)＝－6x2＋36x＝0，x＝6，故选C.答案：C3．一个物体的运动方程为s＝1－t＋t2，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是(　　)A．7米/秒B．6米/秒C．5米/秒D．8米/秒解析：由导数的物理意义知，位移的导数是瞬时速度，由s＝1－t＋t2求导得v＝s′＝－1＋2t，当t＝3时，v＝5.故选C.答案：C4．当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S时，它的底面半径为___时，才能使饮料罐的体积最大.解析：设圆柱形金属饮料罐的底面半径为R，高为h.S＝2πRh＋2πR2⇒h＝⇒V(

4、R)＝πR2＝(S－2πR2)R＝SR－πR3⇒V′(R)＝S－3πR2，令V′(R)＝0，∴R＝.因V(R)只有一个极值点，故它就是最大值点．答案：41．放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M(单位：太贝克)与时间t(单位：年)满足函数关系M(t)＝M02－，其中M0为t＝0时铯137的含量．已知t＝30时，铯137的含量的变化率是－10ln2(单位：太贝克/年)，则M(60)＝(　　)A．5太贝克　　　　　　　B．75ln2太贝克C．150ln2太贝克D．1

5、50太贝克解析：因为M′(t)＝－ln2×M02－，则M′(30)＝－ln2×M02－＝－10ln2，解得M0＝600，所以M(t)＝600×2－，那么M(60)＝600×2－＝600×＝150(太贝克)．故选D.答案：D2．(2013·重庆卷)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为rm，高为hm，体积为Vm3.假设建造成本仅与表面积有关，侧面积的建造成本为100元/m2，底面的建造成本为160元/m2，该蓄水池的总建造成本为12000π元(π为圆周率)．(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V

6、(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．解析：(1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh＝200πrh元，底面的总成本为160πr2元．所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元．又根据题意得200πrh＋160πr2＝12000π，所以h＝(300－4r2)，从而V(r)＝πr2h＝(300r－4r3)．因r＞0，又由h＞0可得r＜5，故函数V(r)的定义域为(0,5)．(2)因V(r)＝(300r－4r3)，故V′(r)＝(300－12r2)，令V′(r)＝0，解得r1＝5(舍去r2＝－5)．当r∈(0,5)时，V′(r)

7、＞0，故V(r)在(0,5)上为增函数；当r∈(5,5)时，V′(r)＜0，故V(r)在(5,5)上为减函数．4由此可知，V(r)在r＝5处取得最大值，此时h＝8.即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大．1．(2012·四会华侨)某工厂从2005年开始，近8年以来生产某种产品的情况是：前4年年产量的增长速度越来越慢，后4年年产量的增长速度保持不变，则该厂这种产品的产量与时间的函数图象可能是(　　)解析：观察知，选项B中，0

8、2．一艘轮船在航行中每小时的燃料费和它的速度的立方成正比，已知当速