高考数学复习点拨 导数优化生活问题

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1、导数优化生活问题五案例利用导数处理生活中的优化问题是新课标的一个考点,它就是要把生活的实际问题先转化为一个数学问题,建立数学模型,再利用导数来求解函数的最优解.本文结合典型例题,对各类应用题进行讨论分析,供同学们复习参考.例1用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？解：设长方体的宽为，则长为，高为．故长方体的体积为．从而．令，解得（舍去）或，因此．当时，；当时，．故在处取得极大值，并且这个极大值就是的最大值．从而最大体积，此时长方体的长

2、为，高为．答：当长方体的长为，宽为，高为时，体积最大，最大体积为．点评：用导数来解决实际问题时，一般首确定自变量，选定了自变量，要搞清自变量的范围，再列出关系式，对关系式进行求导，最后求出最值来。例2请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥。试问当帐篷的顶点O到底面中心的距离为多少时，帐篷的体积最大？解：设OO1为xm,则由题设可得正六棱锥底面边长为（单位：m）于是底面正六边形的面积为：m2帐篷的体积为m3求导数，得令解得x=-2(不合题意，舍去),x=2.当1

3、)为增函数；当2

4、S’(t)

5、≤1，∴≤1，∴，即当t∈[0,+∞]时，（）min=1，∴a≤1.当tà+∞时

6、，，且连续递增，所有值都小于1，∴a≥0.故实数a的取值范围是0≤a≤1。点评：①质点运动方程S(t)的导数S’(t)的物理意义就是质点在时刻t的瞬时速度.②利用导数的物理意义列出不等式,根据不等式在t∈[0,+∞﹞上恒成立，求出a的取值范围.例4用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边形翻转角，再焊接而成．问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？解：设容器高为xcm，容器的容积为cm，则=x(90－2x)(48－2x)=4x－276x＋43(0＜x＜24

7、．求=12x－552x＋4312(x－46x＋360)=12(x－10)(x－36)．令=0，得x=10，x=36(舍去)，当0＜x＜10时，＞0，那么为增函数；当10＜x＜24时，＜0，那么为减函数．因此，在定义域(0，24内，函数只有当x=10时取得最大值，其最大值为：=10×(90－48－=19600(cm)．所以当容器的高为10cm时，容器的容积最大，最大容积为19600cm．点评：函数的应用题主要存在于用料最省、造价最低、利润最大等最优化问题中，由于函数的应用性问题是一种最广泛，实用性又极强的问题，并且利用导数运算工

8、具简化了运算量，所以函数应用题已成为高考的一大热点．例5水库的蓄水量随时间而变化，现用表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量（单位：亿立方米）关于的近似函数关系式为（Ⅰ）该水库的蓄求量小于50的时期称为枯水期.以表示第1月份（）,同一年内哪几个月份是枯水期？（Ⅱ）求一年内该水库的最大蓄水量（取计算）.解：（Ⅰ）①当时，，化简得,解得，或，又，故.②当时，，化简得,解得，又,故.综合得,或；故知枯水期为1月，2月，3月，11月，12月共5个月.(Ⅱ)(Ⅰ)知：V(t)的最大值只能在（4，10）内达到.由V

9、′（t）=令V′(t)=0,解得t=8(t=-2舍去).当t变化时，V′(t)与V(t)的变化情况如下表：t(4,8)8(8,10)V′(t)+0-V(t)极大值由上表，V(t)在t＝8时取得最大值V(8)＝8e2+50-108.52(亿立方米).故知一年内该水库的最大蓄水量是108.32亿立方米点评：本题以水库蓄水为背景，考查了函数、导数和不等式等基本知识，同时还考查了运用导数知识求最值和综合运用数学知识解决生产生活实际问题的能力.