高考数学一轮复习 第三章 不等式 简单不等式的解法导学案 新人教版必修5.doc

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1、简单不等式的解法典例精析题型一　一元二次不等式的解法【例1】解下列不等式：(1)x2－2x－3＞0；(2)已知A＝{x

2、3x2－7x＋2＜0}，B＝{x

3、－2x2＋x＋1≤0}，求A∪B，(∁RA)∩B.【解析】(1)方程两根为x1＝－1，x2＝3，所以原不等式解集为{x

4、x＜－1或x＞3}.(2)因为A＝{x

5、13＜x＜2}，∁RA＝{x

6、x≤13或x≥2}，B＝{x

7、x≤－12或x≥1}，所以A∪B＝{x

8、x≤－12或x＞13}，(∁RA)∩B＝{x

9、x≤－12或x≥2}.【点拨】一元二次不等式、一元二次方程及一元二次函数联系非常紧密，要注意转化，同时要熟练掌握一元二次不等式恒成

10、立与对应方程的判别式的关系.对于Δ＞0的不等式解集简称“大于取两端，小于取中间”.【变式训练1】设函数f(x)＝若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝0，则关于x的不等式f(x)≤1的解集为(　　)A.(－∞，－3]∪[－1，＋∞)B.[－3，－1]C.[－3，－1]∪(0，＋∞)D.[－3，＋∞)＝f(0)，知其对称轴为x＝－2，故－b2＝－2⇒b＝4.又f(－2)＝0，代入得c＝4，故f(x)＝分别解之取并集即得不等式解集为[－3，－1]∪(0，＋∞).题型二　解含参数的一元二次不等式问题【例2】解关于x的不等式mx2＋(m－2)x－2＞0(m∈R).【解析】当m＝0时，原不等式可

11、化为－2x－2＞0，即x＜－1；当m≠0时，可分为两种情况：(1)m＞0时，方程mx2＋(m－2)x－2＝0有两个根，x1＝－1，x2＝2m.所以不等式的解集为{x

12、x＜－1或x＞2m}；(2)m＜0时，原不等式可化为－mx2＋(2－m)x＋2＜0，其对应方程两根为x1＝－1，x2＝2m，x2－x1＝2m－(－1)＝m＋2m.①m＜－2时，m＋2＜0，m＜0，所以x2－x1＞0，x2＞x1，不等式的解集为{x

13、－1＜x＜2m}；②m＝－2时，x2＝x1＝－1，原不等式可化为(x＋1)2＜0，解集为∅；③－2＜m＜0时，x2－x1＜0，即x2＜x1，不等式解集为{x

14、2m＜x＜－1}.

15、综上所述：当m＜－2时，解集为{x

16、－1＜x＜2m}；当m＝－2时，解集为∅；当－2＜m＜0时，解集为{x

17、2m＜x＜－1}；当m＝0时，解集为{x

18、x＜－1}；当m＞0时，解集为{x

19、x＜－1或x＞2m}.【点拨】解含参数的一元二次不等式，首先要判断二次项系数的符号，其次讨论根的情况，然后讨论根的大小，最后依据二次项系数的符号和根的大小写出解集.【变式训练2】解关于x的不等式ax－1x＋1＞0.【解析】原不等式等价于(ax－1)(x＋1)＞0.当a＝0时，不等式的解集为{x

20、x＜－1}；当a＞0时，不等式的解集为{x

21、x＞1a或x＜－1}；当－1＜a＜0时，不等式的解集为{x

22、1a

23、＜x＜－1}；当a＝－1时，不等式的解集为∅；当a＜－1时，不等式的解集为{x

24、－1＜x＜1a}.题型三　一元二次不等式与一元二次方程之间的联系【例3】已知ax2＋bx＋c＞0的解集为{x

25、1＜x＜3}，求不等式cx2＋bx＋a＜0的解集.【解析】由于ax2＋bx＋c＞0的解集为{x

26、1＜x＜3}，因此a＜0，且ax2＋bx＋c＝0的两根为1、3，则－ba＝1＋3，ca＝1×3，即ba＝－4，ca＝3.又a＜0，不等式cx2＋bx＋a＜0可以化为cax2＋bax＋1＞0，即3x2－4x＋1＞0，解得x＜13或x＞1.【点拨】解一元二次不等式时，要注意联系相应的一元二次方程与一元二次函

27、数，明确一元二次不等式的解区间的端点就是相应一元二次方程的根.【变式训练3】(2012江西模拟)若不等式9－x2≤k(x＋2)－2的解集为区间[a，b]，且b－a＝2，则k＝　　　.【解析】2.作出函数y＝9－x2和y＝k(x＋2)－2的图象，函数y＝9－x2的图象是一个半圆，函数y＝k(x＋2)－2的图象是过定点(－2，－2)的一条动直线.依题意，半圆在直线下方的区间长度为2，则必有a＝1，即1是方程9－x2＝k(x＋2)－2的根，代入得k＝2.总结提高1.解一元二次不等式的一般步骤:(1)对不等式变形，使一端为零且二次项系数大于零；(2)计算相应的判别式；(3)当Δ＞0时，求出相

28、应的一元二次方程的两根；(4)根据一元二次不等式的结构，写出其解集.2.当含有参数时，需分类讨论.分类标准往往根据需要而设定.如：是一元一次不等式还是一元二次不等式；开口方向如何；根的判别式的正负；根的大小等.3.要注意三个“二次”之间的联系，重视数形结合思想的应用.