高考数学一轮复习 第三章 基本不等式及应用导学案 新人教版必修5.doc

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1、基本不等式及应用典例精析题型一　利用基本不等式比较大小【例1】(1)设x，y∈R＋，且xy－(x＋y)＝1，则(　　)A.x＋y≥2(2＋1)B.x＋y≤2(2＋1)C.x＋y≤2(2＋1)2D.x＋y≥(2＋1)2(2)已知a，b∈R＋，则ab，a＋b2，a2＋b22，2aba＋b的大小顺序是　　　　　　　　　.【解析】(1)选A.由已知得xy＝1＋(x＋y)，又xy≤(x＋y2)2，所以(x＋y2)2≥1＋(x＋y).解得x＋y≥2(2＋1)或x＋y≤2(1－2).因为x＋y＞0，所以x＋y≥2(2＋1).(2)由a＋b2≥ab有a＋b≥2a

2、b，即a＋b≥2abab，所以ab≥2aba＋b.又a＋b2＝a2＋2ab＋b24≤2(a2＋b2)4，所以a2＋b22≥a＋b2，所以a2＋b22≥a＋b2≥ab≥2aba＋b.【点拨】本题(2)中的结论由基本不等式简单推导而来，可作为结论使用.【变式训练1】设a＞b＞c，不等式1a－b＋1b－c＞λa－c恒成立，则λ的取值范围是　　　　.【解析】(－∞，4).因为a＞b＞c，所以a－b＞0，b－c＞0，a－c＞0.而(a－c)(1a－b＋1b－c)＝[(a－b)＋(b－c)](1a－b＋1b－c)≥4，所以λ＜4.题型二　利用基本不等式求最值

3、【例2】(1)已知x＜54，则函数y＝4x－2＋14x－5的最大值为　　　　；(2)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的导数f′(x)，f′(0)＞0，对任意实数x，有f(x)≥0，则f(1)f′(0)的最小值为(　　)A.3B.52C.2D.32【解析】(1)因为x＜54，所以5－4x＞0.所以y＝4x－2＋14x－5＝－(5－4x＋15－4x)＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x＝15－4x，即x＝1时，等号成立.所以x＝1时，ymax＝1.(2)选C.因为f(x)≥0，所以所以c≥b24a.又f′(x)＝2ax＋b，所以f′(0)＝b＞

4、0，f(1)f′(0)＝a＋b＋cb＝1＋a＋cb≥1＋4a2＋b24ab≥1＋24a2b24ab＝2，当且仅当c＝b24a且4a2＝b2时等号成立.【点拨】应用基本不等式求最值时，常见的技巧是“拆或凑”，同时注意“一正、二定、三相等”这三个条件，避免出现错误.【变式训练2】已知x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，求(a＋b)2cd的取值范围.【解析】由等差数列、等比数列的性质得a＋b＝x＋y，cd＝xy，所以(a＋b)2cd＝(x＋y)2xy＝2＋xy＋yx，当yx＞0时，(a＋b)2cd≥4；当yx＜0时，(a＋b)2cd≤0

5、，故(a＋b)2cd的取值范围是(－∞，0]∪[4，＋∞).题型三　应用基本不等式解实际应用问题【例3】某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，购面粉每次需支付运费900元.(1)求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少(所购面粉第二天才能使用)；(2)若提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于210吨时，其价格可享受9折优惠(即原价的90%)，问该厂是否可以利用此优惠条件？请说明理由.【解析】(1)设该厂x天购买一次面粉，其购买量为6x吨，面粉的保管等

6、其他费用为3[6x＋6(x－1)＋…＋6×2＋6×1]＝9x(x＋1).设平均每天所支付的总费用为y1，则y1＝1x[9x(x＋1)＋900]＋6×1800＝900x＋9x＋10809≥2＋10809＝10989，当且仅当9x＝900x，即x＝10时，取等号.即该厂应10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少.(2)若厂家利用此优惠条件，则至少应35天购买一次面粉，设该厂利用此优惠条件后，每x(x≥35)天购买一次面粉，平均每天支付的总费用为y2，则y2＝1x[9x(x＋1)＋900]＋6×1800×0.9＝900x＋9x＋9729(x

7、≥35).因为y2′＝9－900x2，当x≥35时，y2′＞0.所以y2＝900x＋9x＋9729在[35，＋∞)上是增函数.所以x＝35时，y2取最小值704887.由704887＜10989知，该厂可以利用此优惠条件.【点拨】解决这类应用题，首先要依题意构造出相应的数学模型，并通过适当的变形使所得到的模型符合基本不等式的结构，再求最值.当等号不能成立时，常利用函数的单调性来处理.【变式训练3】已知a＞0，b＞0，且2a＋b＝1，求S＝2ab－4a2－b2的最大值.【解析】因为a＞0，b＞0,2a＋b＝1，所以4a2＋b2＝(2a＋b)2－4a

8、b＝1－4ab，且1＝2a＋b≥22ab，即ab≤24，ab≤18.所以S＝2ab－4a2－b2＝2ab－(1－4ab)＝2ab＋4ab