高考数学一轮复习 第三章 不等式 不等式的综合应用导学案 新人教版必修5.doc

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1、不等式的综合应用典例精析题型一　含参数的不等式问题【例1】若不等式组的解集中所含整数解只有－2，求k的取值范围.【解析】由x2－x－2＞0有x＜－1或x＞2，由2x2＋(5＋2k)x＋5k＜0有(2x＋5)(x＋k)＜0.因为－2是原不等式组的解，所以k＜2.由(2x＋5)(x＋k)＜0有－52＜x＜－k.因为原不等式组的整数解只有－2，所以－2＜－k≤3，即－3≤k＜2，故k的取值范围是[－3,2).【点拨】涉及到含参数的不等式解集的有关问题时，借助数轴分析，往往直观、简洁.【变式训练1】不等式(

2、－1)na＜2＋(－1)n＋1n对任意n∈N*恒成立，求实数a的取值范围.【解析】当n为奇数时，－a＜2＋1n，即a＞－(2＋1n).而－(2＋1n)＜－2，则a≥－2；当n为偶数时，a＜2－1n，而2－1n≥2－12＝32，所以a＜32.综上可得－2≤a＜32.【点拨】不等式中出现了(－1)n的时候，常常分n为奇数和偶数进行分类讨论.题型二　不等式在函数中的应用【例2】已知函数f(x)＝2x－ax2＋2在区间[－1,1]上是增函数.(1)求实数a的值组成的集合A；(2)设x1，x2是关于x的方程f

3、(x)＝1x的两个相异实根，若对任意a∈A及t∈[－1,1]，不等式m2＋tm＋1≥

4、x1－x2

5、恒成立，求实数m的取值范围.【解析】(1)f′(x)＝4＋2ax－2x2(x2＋2)2，因为f(x)在[－1,1]上是增函数，所以当x∈[－1,1]时，f′(x)≥0恒成立，令φ(x)＝x2－ax－2，即x2－ax－2≤0恒成立.所以A＝{a

6、－1≤a≤1}.(2)由f(x)＝1x得x2－ax－2＝0.设x1，x2是方程x2－ax－2＝0的两个根，所以x1＋x2＝a，x1x2＝－2.从而

7、x1－x2

8、＝

9、(x1＋x2)2－4x1x2＝a2＋8，因为a∈[－1,1]，所以a2＋8≤3，即

10、x1－x2

11、max＝3.不等式对任意a∈A及t∈[－1,1]不等式恒成立，即m2＋tm－2≥0恒成立.设g(t)＝m2＋tm－2＝mt＋m2－2，则解得m≥2或m≤－2.故m的取值范围是(－∞，－2]∪[2，＋∞).【点拨】对于在给定区间上恒成立的不等式问题，通常可以转化为给定区间上的函数最大值(最小值)大于零(或小于零)，亦可分离变量或者利用数形结合的方法，分离变量和数形结合更加简单明了.【变式训练2】设a，b＞0

12、，且ab＝1，不等式aa2＋1＋bb2＋1≤λ恒成立，则λ的取值范围是　　　　.【解析】[1，＋∞).因为ab＝1，所以aa2＋1＋bb2＋1＝2a＋b≤22ab＝1，所以λ≥1.题型三　不等式在实际问题中的应用【例3】某森林出现火灾，火势正以100m2/分钟的速度顺风蔓延，消防站接到报警立即派消防队员前去，在火灾发生后5分钟到达救火现场，已知消防队员在现场平均每人灭火50m2/分钟，所消耗的灭火材料，劳务津贴等费用为人均125元/分钟，另附加每次救火所耗损的车辆，器械和装备等费用人均100元，而烧

13、毁森林的损失费60元/m2，问应该派多少消防队员前去救火才能使总损失最少？【解析】设派x名消防队员前去救火，用t分钟将火扑灭，总损失为y，则t＝5×10050x－100＝10x－2，y＝灭火劳务津贴＋车辆、器械装备费＋森林损失费＝125xt＋100x＋60(500＋100t)＝125x×10x－2＋100x＋30000＋60000x－2＝100(x－2)＋62500x－2＋31450≥2100(x－2)•62500x－2＋31450＝36450，当且仅当100(x－2)＝62500x－2，即x＝27

14、时，y有最小值36450，故应派27人前去救火才能使总损失最少，最少损失36450元.【点拨】本题需要把实际问题抽象为数学问题，建立不等式模型，利用基本不等式求最值，基本不等式是历年高考考查的重要内容.【变式训练3】某学校拟建一块周长为400m的操场，如图所示，操场的两头是半圆形，中间区域是矩形，学生做操一般安排在矩形区域，为了能让学生的做操区域尽可能大，试问如何设计矩形的长和宽？【解析】设中间矩形区域的长，宽分别为xm，ym，中间的矩形区域面积为S，则半圆的周长为πy2，因为操场周长为400，所以

15、2x＋2×πy2＝400，即2x＋πy＝400(0＜x＜200,0＜y＜400π)，所以S＝xy＝12π•(2x)•(πy)≤12π•2x＋πy22＝20000π，由解得所以当且仅当时等号成立，即把矩形的长和宽分别设计为100m和200πm时，矩形区域面积最大.总结提高1.不等式应用大致可分为两类：一类是建立不等式求参数的取值范围，或解决一些实际应用问题；另一类是建立函数关系，利用基本不等式求最值问题.不等式的综合题主要是不等式与函数、解析几何、数列、三角函数等知识的