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1、《现代控制理论》课程综合设计单级旋转倒立摆系统1引言单级旋转倒立摆系统一种广泛应用的物理模型，其物理模型如下：图示为单级旋转倒立摆系统原理图。其中摆的长度=1m，质量=0.1kg，横杆的长度=1m，质量=0.1kg，重力加速度。以在水平方向对横杆施加的力矩为输入，横杆相对参考系产生的角位移为输出。控制的目的是当横杆在水平方向上旋转时，将倒立摆保持在垂直位置上。图1单级旋转倒立摆系统模型单级旋转倒立摆可以在平行于纸面3600的范围内自由摆动。倒立摆控制系统的目的是使倒立摆在外力的推动下，摆杆仍然保持竖直向上状态。在横杆静止的状态下，由于
2、受到重力的作用，倒立摆的稳定性在摆杆微小的扰动下，就会使倒立摆的平衡无法复位，这时必须使横杆在平行于纸面的方向通过位移产生相应的加速度。作用力与物体位移对时间的二阶导数存在线性关系，故单级倒立摆系统是一个非线性系统。本文综合设计以以在水平方向对横杆施加的力矩为输入，横杆相对参考系产生的角位移为输出，建立状态空间模型，在原有系统上中综合带状态观测器状态反馈系统，从而实现当横杆在旋转运动时，将倒立摆保持在垂直位置上。2模型建立本文将横杆和摆杆分别进行受力分析，定义以下物理量：本文将横杆和摆杆分别进行受力分析，定义以下物理量：为加在横杆上的
3、力矩；为摆杆质量；为摆杆长度；为摆杆的转动惯量；为横杆的质量；为横杆的长度；为横杆的转动惯量；为横杆在力矩作用下转动的角度；为摆杆与垂直方向的夹角；N和H分别为摆杆与横杆之间相互作用力的水平和垂直方向的分量。倒立摆模型受力分析如图2所示。图2倒立摆模型受力分析摆杆水平方向受力平衡方程：（—横杆的转动弧长即位移）摆杆垂直方向受力平衡方程：摆杆转矩平衡方程：横杆转矩平衡方程：考虑到摆杆在设定点附近做微小振动，对上式进行线性化，即，，，其中，近似线性化得到，整理上式可得倒立摆的状态方程：本文参数代入计算可得：取状态变量如下：故3稳定性和能控
4、性分析3.1稳定性分析判断一个系统是否稳定，只需判断该系统传递函数的极点是否都在左半平面。编写Matlab语句可得该系统的传递函数，即A=[0,1,0,0;0,0,-4.642,0;0,0,0,1;0,0,12.379,0];B=[0;11.053;0;-9.474];C=[1,0,0,0];D=0;Gss=ss(A,B,C,D);G1=zpk(Gss)G1=11.053(s+2.898)(s-2.898)--------------------------s^2(s-3.518)(s+3.518)Continuous-timezer
5、o/pole/gainmodel.从结果可以看出，传递函数存在一个在复平面右半侧的极点，故该系统是不稳定的。3.2能控性分析判断系统是否完全能控，只需判断该系统能控性矩阵是否为满秩，即若，则该系统是完全能控的。根据Matlab语句中Qc=ctrb(A,B)，即A=[0,1,0,0;0,0,-4.642,0;0,0,0,1;0,0,12.379,0];B=[0;11.053;0;-9.474];C=[1,0,0,0];Qc=ctrb(A,B);n1=rank(Qc)n1=4从结果可以看出该系统是完全能控的，可以实现任意极点的配置。3.3
6、能观测性分析与判断能控性类似，只需判断该系统能观测性矩阵是否为满秩，即若，该系统是完全能观测的。借用Matlab语句中Qo=obsv(A,C)，即A=[0,1,0,0;0,0,-4.642,0;0,0,0,1;0,0,12.379,0];B=[0;11.053;0;-9.474];C=[1,0,0,0];Qo=obsv(A,C);n2=rank(Qo)n2=4从结果可以看出该系统是完全能观测的，故可以配置状态观测器3状态反馈分析3.1原系统Simulink仿真及分析根据现代控制原理，绘制原系统的状态模拟图，如图3所示。M-9.474y
7、M-9.474-4.64212.39711.053图3原系统状态模拟图运用MATLAB中的Simulink来对原系统进行仿真，首先可以得出原系统的Simulink仿真模型如下图4所示图4原系统Simulink仿真图通过Simulink仿真可以得到原系统的零状态响应，其中初始值，，响应曲线如下图所示图5原系统和零状态响应曲线从仿真波形可以看出，在初始扰动情况下，摆杆不会稳定到垂直位置，横杆会一直运动，故原系统不稳定，这与上文所述传递函数有左半平面极点符合。3.1状态反馈分析由于原系统是不稳定的，要使系统稳定，需要加入状态反馈，使系统的极
8、点全部位于左半平面，状态反馈的结构图如图6所示。图6状态反馈系统的结构图控制系统的各种特性及其品质指标在很大程度上是由其闭环系统的零点和极点的位置决定。极点配置问题就是通过对状态反馈矩阵的选择，使其闭环系统的极点配置在所
