单级倒立摆系统建模(单页)

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1、单级倒立摆系统建模倒立摆倒立摆(InvertedPendulum)作为一个被控对象，是快速、多变量、开环不稳定、非线性的高阶系统，必须施加强有力的控制手段才能使之稳定。许多新的实时控制理论，都通过倒立摆控制试验来加以验证。从工程背景来讲，小到日常生活中所见到的各种重心在上、支点在下的物体的稳定问题，大到火箭的垂直发射控制等关键技术问题，都与倒立摆控制有很大的相似性。小车倒立摆系统建模¢图1所示的是人手保持倒立摆平衡的问题，相应的平衡条件是θ(t)=0和dθ/dt=0。¢人手保持倒立摆平衡与导弹在发射初始阶段的状态控制没有本质差异。图1手持倒立摆小车倒立摆控制问题描述yl+sinθ¢该问题

2、的经典表述形式——图2所示的小车上的倒摆控制问题。θ¢小车必须处于运动状态才能保证质量m始终处于小车上方。图2小车倒立摆小车倒立摆动力学分析¢分析系统水平方向的受力情况和铰接点的力矩情况，列写系统运动的微分方程。¢系统水平方向受力之和为：22dydM+m()y+lsinθ=u22dtdt即M+m"y"+ml""−ml"2=u()θcosθθsinθ由于平衡附近θ()0t≈和θ"≈0，有sinθ≈θ和cosθ≈1(M＋m)"y"+mlθ""−u(t)=0①其中，u(t)——施加在小车上的外力，l——质量m到铰接点的距离。动力学分析(2)¢绕铰接点旋转运动的惯性力矩应与重力矩平衡：2⎡d⎤⎢

3、m2()y+lsinθ⎥⋅lcosθ=mglsinθ⎣dt⎦22即："y"cosθ+lθ""cosθ−lθ"sinθcosθ=gsinθ又由于平衡点附近θ()0t≈且θ"≈0,即sinθ≈θ和cosθ≈1代入上式得："y"+lθ""−gθ=0②动力学分析(3)选定两个二阶系统的状态变量为[]T[]Tx=xxxx=yy"θθ"1234将式①和式②写成状态变量的形式，可得(M＋m)x"2+mlx"4−u(t)=0③x"+lx"−gx=0④243解出式④中lx"并代入式③得：4⑤Mx"+mgx−u(t)=02311可得：x"=−mgx+u(t)⑥23MM再解出式③中x"，并代入式④，可得2Ml

4、x"−(M+m)gx+u(t)=0⑦43小车倒立摆系统状态方程模型于是4个一阶微分方程为：−mg1x"=x,x"=x+u(t)1223MM(M+m)g1x"=x,x"=x−u(t)3443MlMl系统状态方程为：X"=AX+Bu(t)⎡0100⎤⎡0⎤⎢00−(mg/M)0⎥⎢⎥⎢⎥⎢1/M⎥其中：A=⎢0001⎥,B=⎢0⎥⎢(M+m)g⎥⎢⎥⎢000⎥⎣−1/(Ml)⎦⎣M⎦单级旋转倒立摆建模与普通的小车——摆杆倒立摆系统不同，单级旋转倒立摆系统,将摆杆安装在与电机转轴相连的旋臂上，通过电机带动旋臂的转动来控制摆杆的倒立，将平动控制改为旋转控制，使得整个系统更为复杂和不稳定，增加了控

5、制难度。单级旋转倒立摆系统结构单级旋转倒立摆系统结构两个角度电位器分别安装在直流电动机的转轴处和摆杆关节处，测量旋臂与铅直线角度偏移量，摆杆与旋臂之间的相对角度偏移量。→A/D转换→送入计算机计算机按控制算法计算出控制信号→D/A转换→功率放大器放大→驱动直流力矩电动机控制目标：使单级旋转倒立摆在不稳定的平单级旋转倒立摆系统结构衡点处平衡。动力学分析1)驱动臂绕转轴旋转的转动运动方程（以转轴为原点的惯性系）：JML2""GUFF"()""MgLsin(11+=1)θ101−θθ12+211−θ+11θ①−+fLcosθθfLcos1xy12111212)摆杆质心的运动方程：水平方向：θ2

6、M()LLfsinθθ+sin′′=②2121221xMg2垂直方向：θ1′′Mg1M()LLfcosθθ+=cos−Mg③2121221y2动力学分析3)摆杆绕关节旋转的转动运动方程（以关节为原点的非惯性系）：JML2""MgLsinF""()22+=2θθ22222−(θ21−θ)④′′′′−+ML21()21sinθcosθθ2ML21()2cos122LsinθJML2""GUFF"""()11+=1θθ101−12+−(θ21θ)+−+MgLsinθfLcosθθfLsin1111xy1211121JML2""MgLsinF""()22+=2θθ22222−()θ21−θ′′′

7、′−+ML21()212sinθLcosθθ2ML21()2cos122Lsinθ动力学分析得到模型的非线性方程如下：⎡⎤++22cos(-)⎡⎤""JMLMLMLLθθθ1112122122211⎢⎥2⎢⎥""⎣⎦MLLcos(θθ-)JML+⎣⎦θ2122212222⎡⎤FF+−FMLL−sin(θ-)θθθ""⎡⎤12221222121+⎢⎥⎢⎥""⎣⎦−−FMLLsin(-)θθθF⎣θ⎦2212212122⎡⎤−(+)ML