单级倒立摆系统

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1、单级倒立摆系统建模图中u是施加于小车的水平方向的作用力，x是小车的位移，θ是摆杆的倾斜角。若不给小车施加控制力，倒摆会向左或向右倾斜，控制的目的是当倒摆出现偏角时，在水平方向上给小车以作用力，使得摆杆和小车能够迅速恢复到平衡位置（θ=0，x=0）。为了建立倒立摆系统的简易模型又不失其实质，可先作如下假设：1、倒立摆与摆杆均为匀质刚体。2、可忽略摆与载体,载体与外界的摩擦，即忽略摆轴、轮轴、轮与接触面之间的摩擦力等。系统的受力如下图示，其中小车的质量为M，瞬时位移为x，摆杆长度为2L，质量为m，瞬时位置为。小车受力图

2、摆杆受力图运用牛顿力学定律，小车沿x轴方向运动有：摆杆重心沿x轴方向有：摆杆重心沿y轴方向有：摆杆围绕其重心的转动运动可用力矩方程来描述：式中，为摆杆围绕其重心的转动惯量。控制中要求θ小于5弧度，即在θ很小时，，，将方程在平衡点（θ=0，x=0）附近线性化处理。则以上各式变为：①②③④由式①和式②得：⑤由式②、③和④得：⑥由式⑤和式⑥可得单级倒立摆方程：对以上两式进行拉氏变换，整理得以u为输入量，以摆杆摆角为输出量得传递函数G(s)=控制指标共有4个，即单级倒立摆的摆角、摆速、小车位置、小车速度。以摆角和小车位移x

3、为输出量，将倒立摆运动方程转化为状态方程的形式为：假设系统内部各相关参数如下：M：小车质量1kgm：摆杆质量0.5kgL：摆杆转动轴心到杆质心的长度0.3mg：重力加速度9.8m/s2I：摆杆转动惯量0.015kg·m2程序代码：%分别得摆角和小车位置对输入的传递函数M=1;m=0.5;L=0.3;g=9.8;I=0.015;t1=m*(m+M)*g*L/[(M+m)*I+M*m*L^2];t2=m^2*g*L^2/[(M+m)*I+M*m*L^2];t3=m*L/[(M+m)*I+M*m*L^2];t4=(I+m

4、*L^2)/[(M+m)*I+M*m*L^2];A=[0100;t1000;0001;t2000];B=[0;t3;0;t4];C=[1000;0010];D=[0;0];sys1=ss(A,B,C,D);sys2=tf(sys1)执行得：Transferfunctionfrominputtooutput...2.222#1:--------------------------s^2-1.776e-015s-32.670.8889s^2+7.895e-016s-21.78#2:-------------------

5、--------------s^4-1.776e-015s^3-32.67s^2%摆角开环控制脉冲响应M=1;m=0.5;L=0.3;g=9.8;I=0.015;num=[m*L];den=[(M+m)*I+M*m*L^20-m*(m+M)*g*L];impulse(num,den)axis([01-600])grid执行得开环响应，系统开环不稳定：单级倒立摆系统的PID控制比例、积分和微分控制器的控制规律比例控制器能减小上升时间，减小稳态误差；积分控制亦可以减小稳态误差，但可能使瞬态响应变差；微分控制能提高系统稳

6、定性、减小超调并改善系统瞬态响应。闭环响应上升时间超调调节时间稳态误差Kp减小增大变化不大减小Ki减小增大增加消除Kd变化不大减小减小变化不大针对单级倒立摆系统，由于本设计的控制目标是通过给小车底座一个控制力u，使小车停留在预定的位置，并使杆不倒下，故设定要跟踪的参考输入信号为零，同时加于小车的干扰力设为脉冲信号。那么，添加了PID控制器的系统结构图如下：其等效方框图如下，便于MATLAB传递函数的录入。图中为PID控制器为：其中，KP、KD、KI分别为比例、微分和积分常数。运行程序：%KP=1、KD=1、KI=1

7、时M=1;m=0.5;L=0.3;g=9.8;I=0.015;num=[m*L];den=[(M+m)*I+M*m*L^20-m*(m+M)*g*L];sys1=tf(num,den);kp=1;kd=1;ki=1;numPID=[kdkpki];denPID=[10];ctrc=tf(numPID,denPID);sys=feedback(sys1,ctrc);impulse(sys)title('Impulseresponsewithkp=1kd=1ki=1')运行程序：%KP=100、KD=1、KI=10时M

8、=1;m=0.5;L=0.3;g=9.8;I=0.015;num=[m*L];den=[(M+m)*I+M*m*L^20-m*(m+M)*g*L];sys1=tf(num,den);kp=100;kd=1;ki=10;numPID=[kdkpki];denPID=[10];ctrc=tf(numPID,denPID);sys=feedback(sys1,ct