2、是增函数⇔f(x1)f(x2)2.单调性、单调区间若函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间．3．函数的最值设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在M∈R,①对于任意的x∈I,都有f(x)≤M（或f(x)≥M）②存在x0∈I,使得f(x0)=M则称M是f(x)的最大（或小）值二．例题讲解【典例1】(1)函数f(x)=log2(x2-4)的单调递减区间为_______.(2
3、)试讨论函数x∈(-1,1)的单调性(其中a≠0).【思路点拨】(1)根据复合函数的单调性求解.(2)用定义法或导数法求解.答案：（1）(-∞,-2)(2)方法一(定义法):设x1,x2∈(-1,1)且x1＜x2,则∵-1＜x1＜x2＜1,∴x2-x1＞0,x12-1＜0,x22-1＜0,-1＜x1x2＜1,x1x2+1＞0,∴因此当a＞0时,f(x1)-f(x2)＞0.即f(x1)＞f(x2),此时函数在(-1,1)上为减函数;当a＜0时,f(x1)-f(x2)＜0.即f(x1)＜f(x2),此时函数在(-1,1
4、)上为增函数.方法二(导数法)：当a＞0时,f′(x)<0;当a＜0时,f′(x)>0.∴当a＞0时,f(x)在(-1,1)上为减函数;当a＜0时,f(x)在(-1,1)上为增函数.【互动探究】若将本题(1)中的函数改为试求函数f(x)的单调递减区间.【解析】函数f(x)的定义域为(-1,+∞),令t=x+1,因为在t∈(0,+∞)上是减函数,t=x+1在x∈(-1,+∞)上为增函数,所以函数的单调递减区间为(-1,+∞).【典例2】(1)设函数g(x)=x2-2(x∈R),则f(x)的值域是()(A)［］∪(1,
5、+∞)(B)［0,+∞)(C)［)(D)［］∪(2,+∞)【变式训练】用定义法判断函数在定义域上的单调性.【解析】由x2-1≥0得x≥1或x≤-1,即函数的定义域为(-∞,-1］∪［1,+∞).设x1＜x2,则∵x1-x2＜0,∴当x1,x2∈(-∞,-1］时,x1+x2＜0,则f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)＞f(x2),故函数在(-∞,-1］上是减函数.当x1,x2∈［1,+∞)时,x1+x2＞0,则f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)＜f(x2),故函数在［1,+∞)上是增函数.【小结】求函数最值
6、的五种常用方法(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.(5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．【提醒】在求函数的值域时,应先确定函数的定义域.【变式训练】(1)函数在区间［a,b］上的最大值是1,最小值是，则a+b=________
7、.【解析】易知f(x)在［a,b］上为减函数,答案：6【典例3】(1)(2014·龙岩模拟)若函数f(x)为R上的增函数,且f(ax+1)≤f(x-2)对任意x∈[,2]都成立,则实数a的取值范围是 .(2)已知满足对任意x1≠x2,都有成立，那么a的取值范围是______.【思路点拨】(1)根据单调性转化不等式求解,注意定义域.(2)寻找f(x)是增函数满足的条件,列不等式组求解.【规范解答】(1)因为f(x)为R上的增函数,所以由f(ax+1)≤f(x-2)得ax+1≤x-2,即a≤1-在[,2]上恒成立
8、,令g(x)=1-,则由于g(x)在[,2]上为增函数,所以g(x)min=g()=1-=-5,所以a≤-5,即a∈(-∞,-5].答案:(-∞,-5]2)∵对任意x1≠x2,都有成立,∴函数f(x)是R上的增函数.答案：【小结】1.含“f”不等式的解法根据函数的单调性，解含有“f”的不等式时，要根据函数的性质，转化为如“f(g(x))>f(h(x))”的形
