2020高考数学一轮复习2.2函数的单调性与最值讲义理

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1、第二节函数的单调性与最值❶函数在给定区间上的单调性，反映了函数在区间上的函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质.❸对于∀x1，x2∈D，都有(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0或>0.1．函数的单调性❶(1)增函数、减函数增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)❸，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1＜x2时，都有f(x1)>f(x2)❹，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间

2、D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间❺.2．函数的最值❻前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M①对于任意x∈I，都有f(x)≥M；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M结论M为函数y＝f(x)的最大值M为函数y＝f(x)的最小值x1，x2的特征：(1)任意性；(2)有大小，即x1＜x2(x1>x2)；(3)属于同一个单调区间.对于∀x1，x2∈D，都有(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]＜0或

3、＜0.(1)求函数单调区间或讨论函数单调性必须先求函数的定义域．(2)一个函数的同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．(3)函数在某个区间上是单调函数，但在整个定义域上不一定是单调函数，如函数y＝在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是减函数，但在定义域上不具有单调性．(4)“函数的单调区间是M”与“函数在区间N上单调”是两个不同的概念，显然N⊆M.[熟记常用结论]1．若函数f(x)，g(x)在区间I上具有单调性，则在区间I上具有以下性质：(1)f(x)与a·f(x)在a>0时具有相同的单调性，在a＜0时具有相反的单调性．(2)当f(x)，g(x)都是

4、增(减)函数时，f(x)＋g(x)是增(减)函数．(3)当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，若两者都恒大于零，则f(x)·g(x)也是增(减)函数；若两者都恒小于零，则f(x)·g(x)是减(增)函数．2．复合函数的单调性对于复合函数y＝f[g(x)]，若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调函数，且y＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或(g(b)，g(a))上是单调函数，若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相同，则y＝f[g(x)]为增函数；若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相反，则y＝f[g(x)]为减函数．简称“同增异减”．3．开区间上的“单峰”函

5、数一定存在最大值(最小值)．[小题查验基础]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(　　)(2)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．(　　)(3)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是增函数．(　　)(4)所有的单调函数都有最值．(　　)答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×二、选填题1．下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是(　　)A．y＝

6、x

7、　　　　　　　　B．y＝3－xC．y＝D．y＝－x2＋4解析：选A　y＝

8、3－x在R上递减，y＝在(0，＋∞)上递减，y＝－x2＋4在(0，＋∞)上递减，故选A.2．函数f(x)＝－x＋在区间上的最大值是(　　)A.B．－C．－2D．2解析：选A　∵函数y＝－x与y＝在x∈上都是减函数，∴函数f(x)＝－x＋在上是减函数，故f(x)的最大值为f(－2)＝2－＝.3．设定义在[－1,7]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的增区间为________．解析：由图可知函数的增区间为[－1,1]和[5,7]．答案：[－1,1]和[5,7]4．若函数y＝(2k＋1)x＋b在R上是减函数，则k的取值范围是________．解析：

9、因为函数y＝(2k＋1)x＋b在R上是减函数，所以2k＋1＜0，即k＜－.答案：5．若函数f(x)满足“对任意的x1，x2∈R，当x1＜x2时，都有f(x1)>f(x2)”，则满足f(2x－1)＜f(1)的实数x的取值范围为________．解析：由题意知，函数f(x)在定义域内为减函数，∵f(2x－1)＜f(1)，∴2x－1>1，即x>1，∴x的取值范围为(1，＋∞)．答案：(1，＋∞)[考法全析]考法(一)　确定不含参函数的单调性(区间)[例1]　(1)函数f(x)＝

10、x2－3x＋2

11、的单调递增区间是(　　)A.　　　　　　B.和[2，＋∞)C．(－∞，1]

12、和D.和[2，＋∞)(2