高二数学 6.5 含有绝对值的不等式同步辅导教材.doc

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1、6.5含有绝对值的不等式一、本讲进度6.5含有绝对值的不等式课本第20页至第23页二、本讲主要内容含有绝对值的不等式证明三、学习指导1、绝对值的性质（1）基本性质：①x∈R时，

2、x

3、≥x，

4、x

5、≥-x；②

6、x

7、

8、x

9、a，或x<-ax2>a2。（2）运算性质：

10、ab

11、=

12、a

13、

14、b

15、，，

16、

17、a

18、-

19、b

20、

21、≤

22、a±b

23、≤

24、a

25、+

26、b

27、，

28、a1±a2±…+an

29、≤

30、a1

31、+

32、a2

33、+…+

34、an

35、。（3）几何意义：

36、x-a

37、表示数轴上数x，a对应的两点之间的距离。2、与绝对值有关的不等式的证明，其方法仍是证明一般不等式的方法

38、，如比较法、综合法、分析法等，但它除了涉及一般不等式的性质外，还经常用到刚才所介绍的绝对值的性质，特别是

39、

40、a

41、-

42、b

43、

44、≤

45、a

46、±

47、b

48、这一条性质。在利用绝对值的性质时，应根据不等号的方向进行合理的选择。3、含绝对值不等式的证明与解法有较大的差异，在解不等式中，主要是考虑如何去掉绝对值符号；而在证明中，一般不提倡去掉绝对值符号，当然，少数题目例外。四、典型例题【例1】设

49、a

50、<ε,

51、a-b

52、<2ε，求证：

53、b

54、<3ε。解题思路分析：根据解题的“结论向条件靠拢”的原则，本题主要思考如何用a，a-b表示b，从而利用

55、a

56、及

57、a-b

58、的条件得到

59、b

60、的范围

61、。∵b=a-(a-b)∴

62、b

63、=

64、a-(a-b)

65、≤

66、a

67、+

68、a-b

69、<ε+2ε=3ε注：本题还涉及到了化简变形中的整体思想，即将a-b看作一个整体。实际上根据

70、a-b

71、的结构特点，也可用绝对值的基本不等式对其缩小：

72、

73、a

74、-

75、b

76、

77、≤

78、a-b

79、，关键是不等式的左端是选择

80、a

81、-

82、b

83、，还是

84、b

85、-

86、a

87、，尽管两个不等式都成立，但由本题的消元要求，应消去a，保留b，故选

88、b

89、-

90、a

91、≤

92、a-b

93、。∴

94、b

95、-

96、a

97、<2ε又

98、a

99、<ε∴两不等式同向相加得

100、b

101、<3ε【例2】已知f(x)=x2-x+c，

102、x-a

103、<1，a，c∈R，求证：

104、f(x)-f(a)

105、

106、<2(

107、a

108、+1)。求证：

109、f(x)-f(a)

110、<2(

111、a

112、+1)解题思路分析：因f的对应法则已知，故首先对不等式左边化简：

113、f(x)-f(a)

114、=

115、x2-x+c-(a2-a+c)

116、=

117、x2-a2-x+a

118、。接下来的变形向条件

119、x-a

120、<1靠拢，即凑出因式x-a：

121、f(x)-f(a)

122、=

123、x2-a2-x+a

124、=1(x-a)(x+a)-(x-a)

125、=

126、x-a

127、

128、x+a-1

129、<

130、x+a-1

131、下一步化简有两种途径：从结论向条件凑，或从条件向结论凑。途径一：

132、x+a-1

133、=

134、x-a+2a-1

135、≤

136、x-a

137、+

138、2a-1

139、≤

140、x-a

141、+

142、2a

143、+1<1+2

144、a

145、+

146、1=2(

147、a

148、+1)途径二：

149、x+a-1

150、≤

151、x

152、+

153、a-1

154、≤

155、x

156、+

157、a

158、+1又

159、x-a

160、≥

161、x

162、-

163、a

164、∴

165、x

166、-

167、a

168、<1∴

169、x

170、<

171、a

172、+1∴

173、x+a-1

174、≤

175、x

176、+

177、a

178、+1<

179、a

180、+1+

181、a

182、+1=2(

183、a

184、+1)注：途径二在利用基本不等式

185、x-a

186、≥

187、

188、x

189、-

190、a

191、

192、时，涉及到是选择

193、x-a

194、≥

195、x

196、-

197、a

198、，还是

199、x-a

200、≥

201、a

202、-

203、x

204、，应根据与

205、x

206、有关的不等号方向选择。本题是要将

207、a

208、放大，故选择

209、x-a

210、≥

211、x

212、-

213、a

214、。【例3】求证≤。解题思路分析：思路一：三个分式的结构特点完全一致，可构造函数f(x)=，利用f(x)的单调

215、性放缩。令f(x)=(x≥0)易证f(x)在[0，+∞）上递增∵0≤

216、a+b

217、≤

218、a

219、+

220、b

221、∴f(

222、a+b

223、)≤f(

224、a

225、+

226、b

227、)∴≤根据结论要求，采用缩小分母增大分式的放缩技巧∵，∴∴由不等式传递性，原不等式成立思路二：用

228、a+b

229、≤

230、a

231、+

232、b

233、进行放缩。但不等式左边分式的分子、分母均含有

234、a+b

235、，必须转化为只有一项含

236、a+b

237、的分式。∵

238、a+b

239、≤

240、a

241、+

242、b

243、∴≥≤下同思路一。【例4】已知a，b，x∈R，ab≥0，x≠0，求证≥。解题思路分析：本题考虑去绝对值符号后进行证明。思路一：不等号两边均为非负，原不等式≥即≥∵≥∴≥思路二：当a=

244、0，或b=0时，原不等式为≥0，

245、ax

246、≥0，显然成立当a≠0且b≠0时，由a、b>0知，>0∴≥【例5】已知f(x)=x2+ax+b，（1）求f(1)-2f(2)+f(3)；（2）证明

247、f(1)

248、，

249、f(2)

250、，

251、f(3)

252、中至少有一个不小于。解思路分析：（1）f(1)-f(2)+f(3)=2；问题（2）的求解想办法利用（1）的结论。这是一个存在性的命题，因正面情形较多，难以确定有几个，故采用反证法。假设

253、f(x)

254、<,

255、f(2)

256、<，

257、f(3)

258、<则

259、f(1)-2f(2)+f(3)

260、≤

261、f(1)

262、+2

263、f(2)

264、+

265、f(3)

266、<但

267、f(1)-2f(

268、2)+f(3)

269、=2由此得到矛盾。【例6】已知a，b∈R，

270、a

271、>1，

272、b

273、>1，且a≠b，求