高二数学 6.4 不等式的解法举例同步辅导教材.doc

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1、6.4不等式的解法举例一、本讲进度6.4不等式的解法举例课本第17页至第19页二、本讲主要内容常见类型的不等式的解法三、学习指导1、求不等式的解就是研究条件不等式成立的条件，或者说求出使不等式成立的变量的取值范围。在解不等式过程中，每次对不等式进行变形都要保持前后不等式同解。不等式的同解原理是解不等式的理论根据，主要内容有：（1）不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得不等式与原不等式是同解不等式；（2）不等式两边都乘以（或除以）同一个正数或同一个大于零的整式，所得不等式与原不等式是同解不等式；（3）不等式两边都乘

2、以（或除以）同一个负数或同一个小于零的整式，并把不等式改变方向后，所得不等式与原不等式是同解不等式。2、解一元二次不等式（组），一元二次不等式（组）是解其它不等式（组）的基础。熟练掌握逻辑联结词“或”“且”的含义及集合的“并”“交”运算是解不等式的关键。应充分利用数轴及二次函数图象等工具，体现数形结合思想。解高次不等式及有理分式不等式，用序轴标根法。解无理不等式，通过去根号把它同解变形为有理不等式（组）。解绝对不等式，通过平方法、零点分段讨论法、绝对值的意义等去掉绝对值符号。对于

3、x-a

4、+

5、x-b

6、

7、x-a

8、-

9、x-b

10、

11、>c型的不等式，还可借助绝对值表示的几何意义求解。超越不等式，通过函数单调性的性质求解。3、含字母问题，应选择正确的分类标准合理地进行讨论。四、典型例题【例1】解不等式：x2-(a+a2)x+a3<0。解题思路分析：因x2-(a2+a)x+a3=(x-a)(x-a2)，不等式解的一般形式为两根a与a2之间，下面比较a与a2大小。a-a2=a(1-a)当a=0或a=1时，a=a2，原不等式为x2<0，或(x-1)2<0，不等式无解当00，a>a2，不等式解为a21或a<0时，a(1-a)

12、<0，a0。解题思路分析：首先对二次项系数a讨论，以确定不等式的类型：当a=0时，原不等式为4x+4>0，x>-1。当a≠0时，不等式为二次不等式，其解的情况应考虑判别式△=16-16a=16(1-a)及二次项系数a的符号这两个因素，也就是讨论的标准为a与1与0的大小比较。当a>1时，不等式可化为△’=，不等式的解为R当00，解的形式为两根之外，求得方程两根为，，不等式的解为，或。当a<0时，不等式可化为，△’>0，解的形式为两根

13、之间，不等式的解为，注意此时两根大小已改变。当a=1时，原不等式可化为x2+4x+4>0，(x+2)2>0∴x≠-2注：含字母的二次不等式的讨论，涉及到的因素较多，如二次项系数是否为0，判别式△的符号，两根的大小关系。在判别式△<0时，应注意区别不等式的解是R或φ。关于不等式解的一般形式是两根之间还两根之外，应由二次项符号及不等号方向两者同时决定，当二次项为正（负）及不等号方向为大于（小于）时，不等式解的形式为两根之外；否则为两根之间。通常将二次项系数化为常数。【例3】已知不等式组的整数解的集合是{-2}，求实数k的取值范围。

14、解题思路分析：不妨记A={x

15、2x2+(2k+5)x+5k<0}={x

16、(x+k)(2x+5)<0}，B={x

17、x<-1，或x>2}。∵-2∈A∴(-2+k)(-4+5)<0∴k<2……………………………………①再考虑单元素集{-2}在整数集中的唯一性显然，若-k<-，则A={x

18、-k-，A={x

19、-

20、-4)≤-80；（2）（m>1）。解题思路分析：（1）这是一个高次不等式，第一步可通过换元的途径转化为二次问题∵(x+5)(x-4)=x2+x-20(x+2)(x-1)=x2+x-2含未知数的项x2+x为公共项∴可令x2+x=t则(t-20)(t-2)≤-80∴t2-22t+120≤0∴(t-10)(t-12)≤0∴(x2+x-10)(x2+x-12)≤0第二步再分解二次因式：≤0利用序轴标根法可得不等式解为：-4≤x≤，或≤x≤3注：也可令x2+x-2=u，或x2+x-11=v，此时不等式可化为(v-9)(v+9)≤-80，

21、v2≤1，-1≤v≤1，此时更加简捷一些。（2）移项、通分得：由m>1得∴∵∴，∴由序轴标根法：原不等式的解为：，或0