高中数学 第二章《基本初等函数》2.1指数函数学案 新人教A版必修.doc

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1、2.2指数函数一、学习内容、要求及建议知识、方法要求建议根式了解会进行根式与分数指数幂的互化.分数指数幂理解从实际背景和定义两个方面理解分数指数幂,能熟练运用指数运算性质进行化简、计算,并能运用公式简化运算过程.指数函数理解要先学会画它们的图象,观察它们的图象,充分利用图象来研究它们的性质和解决一些问题.二、预习指导1.预习目标(1)通过具体实例(如细胞分裂,考古中所用的的衰减,药物在人体内残留量的变化等),了解指数函数模型的实际背景认识学习指数函数的必要性;理解有理指数幂的含义,通过具体实例了解实数指数幂的意义,理解次方根与次根式的概念,熟练掌握用根式与分数指

2、数幂表示一个正实数的算术根;能运用有理指数幂的运算性质进行运算和化简,会进行根式与分数指数幂的相互转化.(2)理解指数函数的概念和意义,能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象,探索并理解指数函数的性质,能利用函数的平移与对称变换,讨论指数函数的图象;能运用指数函数的单调性,比较两个指数式值的大小,能研究一些与指数函数有关的复合函数的定义域、值域、单调性等问题.在解决简单实际问题的过程中,体会指数函数是一类重要的函数模型.2.预习提纲(1)复习八年级(上)P51-52页平方根的定义与性质、P55-56立方根的定义与性质;九年级(上)P58-59二次根式的定义与

3、性质.(2)阅读课本P45-46页次实数方根的定义与性质;分数指数幂的定义与运算性质;P49-50页指数函数的定义、图象与性质(完成下列表格空白处).y=ax(01)图象性质(3)①阅读课本P46-47的例题例1讲的是简单根式的运算,总结用到的运算性质.例2讲的是简单分数指数幂的运算,总结用到的运算性质.例3讲的是根式化为分数指数幂,总结方法.②阅读课本P50-54的例题例1比较两个同底数幂大小,可以构造指数函数,利用指数函数的单调性来解决.总结比较同底数幂的大小的方法.例2构造指数函数,利用指数函数的单调性来解决未知量的取值范围.例3作

4、出函数与函数的图象,说明它们与函数的图象的关系.总结:一般地,函数与函数的图象之间的关系.例4、例5、例6是指数函数的实际应用,体会三道例题写出了解析式的方法,体会函数模拟的作用.你能举两个具有指数函数模型的实际问题吗?3.典型例题(1)分数指数幂及其运算例1计算:(1);(2)÷47.分析:(1)式中可将小数指数幂化成分数指数幂的形式,再用分数指数幂的运算性质化简;(2)式中注意.解:(1)原式==;(2)原式==点评:要注意分数指数幂的,,等运算性质是在底数为正数时才成立的.例2化简:(1);(2)分析:分数指数幂和根式形式同时出现时,一般统一化成分数指数幂

5、的形式,便于使用分数指数幂的运算性质进行化简.解:(1)原式==;(2)原式点评:计算时要灵活应用:平方差:,立方差:,立方和:等公式.(2)图象问题例3在同一坐标系中画出函数y=3x与的图象,并说出它们之间的关系.分析:列表描点作图,注意图象的变化趋势.解:如图,作出三个函数、、和的图象,可以看出点评:利用指数函数的图象直观感觉函数图象的平移变换与对称变换.一般的,函数的图象与函数的图象关于轴对称;函数的图象向左平移1个单位得到函数的图象.例4画出函数的图象,并利用图象回答:(1)的单调区间是什么?(2)k分别为何值时,方程

6、3x–1

7、=k无解?只有一解?有两

8、解?分析:(1)图象有两种画法,法一:解析式改写成,分两段画出图象,其中的图象与的图象关于轴对称;法二:的图象可由在轴上方的图象不变,轴下方图象对称翻折到轴上方而得.(2)两函数与图象交点的个数,即为方程

9、3x–1

10、=k解的个数,所以只要平移直线,观察它与的图象的交点个数即可.O1解:(1)如图:作出函数的图象,由图可知,的单调增区间是;单调减区间是;(2)平移直线,当时,直线与的图象无交点,故方程无解;当时,直线与的图象有一个交点,故方程只有一解;当时,直线与的图象有两个交点,故方程有两解.点评:分两段画图时,一般先画全体再按范围截取;利用的图象进行平移、翻折

11、变换时,注意它的渐进线也要带着变换.(3)性质例5求下列函数定义域(1);(2).分析:先列出使函数解析式有意义的不等式或不等式组,再准确解之.解:(1)由题得:,∴定义域为.(2)由题得:,即,即,∴定义域为点评:在解指数不等式时,关键是将不等式两边化为同底,然后根据指数函数的单调性来解.例6求下列函数的值域:(1);(2)(为大于1的无理数);(3)分析:(1)画图即可;(2)令,先求的范围,再求的范围;(3)令,转化成二次函数在区间上的最值问题.解:(1)函数在上单调递减,故时,时,∴值域为.(2)令,则,且在上单调递增,∴值域为.(3)令,则为开口向下的

12、抛物线,对称轴为,∵,∴

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