高中数学 第二章 基本初等函数(ⅰ)2.1 指数函数互动课堂学案 新人教a版必修1

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1、2.1指数函数互动课堂疏导引导2.1.1　指数与指数幂的运算1.根式一般地,如果xn=a,那么x叫做a的n次方根,其中n>1,n∈N*.当n是奇数时,正数的n次方根是一个正数,负数的n次方根是一个负数.当n是偶数时,正数的n次方根有两个,这两个数互为相反数.此时,正数a的正的n次方根用符号表示,负的n次方根用符号-表示,方根可以合并成±(a>0).由此可得:负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0,记作n0=0.式子叫做根式,n叫根指数,a叫做被开方数.结论:当n是奇数时,=a;当n是偶数时,=

2、a

3、=疑难

4、疏引在初中代数的学习过程中,我们接触过平方根和立方根的概念.对于平方根的定义我们在上面复习时已经提到了.立方根的定义是:如果x3=a,那么x就叫a的立方根.如此类推,我们便得出了n次实数方根的定义:如果xn=a(n∈N且n>1),那么x就叫a的n次方根.2.分数指数幂正数的分数指数幂的意义:规定:a=(a>0,m、n∈N*,n>1);a-==(a>0,m、n∈N*,n>1).0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义;指出:规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数,那么整数指

5、数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂.疑难疏引(1)当根式的被开方数的指数能被根指数整除时,根式可以写成分数指数幂的形式,并由此引出了正数的正分数指数幂的意义,然后依照负整数指数幂的意义规定了负分数指数幂的意义,从而将指数幂的概念推广到有理数.除此之外,还可将有理数指数幂推广到实数指数幂,有理数指数幂的运算性质对实数指数幂同样适用.(2)指数幂与根式运算的统一性.指数幂与根式运算的统一性是指化简需要先将小数化为分数,根式化为分数指数幂,结果要化为最简形式.在最简结果中,不能既有根式又有分数指数幂的

6、形式,同时,也不能出现既有指数幂又有根式的形式.(3)有理指数幂的运算性质的记忆口诀.①ar·as=ar+s同底两数作乘法,底数不变指数加.②(ar)s=ars幂的乘方要记明,底数不变指数乘.③(ab)r=arbr积的乘方大不同,变为幂后再相乘.3.有理指数幂的运算性质(1)ar·as=ar+s(a>0,r、s∈Q);(2)(ar)s=ars(a>0,r、s∈Q);(3)(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q).4.无理指数幂一般地,无理数指数幂aα(a>0,α是无理数)是一个确定的实数.有理

7、数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂.●案例1化简:(1);(2)-(

8、x

9、

10、y

11、)【探究】对题(1),要化简的式子中有根式及幂式,可将根式化成幂式后进行幂的运算;对题(2),要化简的式子中全是指数式的运算,注意运用乘法公式使其分子分母能够产生公因式,从而可通过约分化简.(1)=［xy2(xy)3］=［xy2xy］=(xy)=xy=y.(2)-=-.∵

12、x

13、≠

14、y

15、,∴原式=(x-)2-x-y-+(y-)2-(x-+x-y-+y-)=-2x-y-=-.【溯源】对多个根式组成的式子进行化简.我们解题的一

16、般原则是先算根号内的,后进行根式运算.进行根式、分数指数幂的乘、除、乘方、开方等混合运算时,一般是先将根式化成分数指数幂,按指数运算法则计算比较简洁;对根式、分数指数幂的混合运算,最后结果一般用最简根式表示;在指数式的运算中,要注意乘法公式的相应形式,注意灵活运用乘法公式进行化简.●案例2已知a=-,b=,求的值.【探究】由于此题式子结构复杂,先根据公式化简然后代入求值.∵a≠0,∴原式=.又∵a-27b≠0,∴原式=【溯源】化简、求值一类问题,往往是先将被求代数式化简,然后再代入已知字母的值,求得代数式的值

17、.首先应化简被求式,遇到小数应化成分数;遇到指数是负数,可以对调底数的分子和分母,将负指数化为正指数.2.1.2　指数函数及其性质1.定义一般地,函数y=ax(a>0且a≠1)叫做指数函数.它的定义域为R.疑难疏引(1)指数函数的解析式y=ax中,ax的系数是1.有些函数貌似指数函数,实际上却不是,如y=ax+k(a>0且a≠1,k∈Z);有些函数看起来不像指数函数,实际上却是,如y=a-x(a>0,且a≠1),因为它可以化为y=,其中>0,且≠1.(2)在指数函数的定义中我们限定底数的范围为a>0且a≠

18、1,这主要是使函数的定义域为实数集,且具有单调性.①若a=0,当x>0时,ax=0,当x≤0时,ax没有意义;②若a<0,如y=(-2)x对于x=、等都是没有意义的;③若a=1,则函数为y=1x=1是一个常数函数,它的性质没有研究的必要,且不具有单调性.2.性质y=ax图象01时的图象性质(1)定义域为R,值域为(0,+∞)(2)a0=1,即x=0时,y=1