高中数学 第二章 数列习题课学案 新人教A版必修.doc

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1、第二章数列学习目标　1.掌握分组分解求和法的使用情形和解题要点.2.掌握奇偶并项求和法的使用情形和解题要点.3.掌握裂项相消求和法的使用情形和解题要点.4.进一步熟悉错位相减法．知识点一　分组分解求和法思考　求和：1＋2＋3＋…＋(n＋)．答案　1＋2＋3＋…＋(n＋)＝(1＋2＋3＋…＋n)＋(＋＋＋…＋)＝＋＝＋1－.梳理　分组分解求和的基本思路：通过分解每一项重新组合，化归为等差数列和等比数列求和．知识点二　奇偶并项求和法思考　求和12－22＋32－42＋…＋992－1002.答案　12－22＋32－42＋…

2、＋992－1002＝(12－22)＋(32－42)＋…＋(992－1002)＝(1－2)(1＋2)＋(3－4)(3＋4)＋…＋(99－100)(99＋100)＝－(1＋2＋3＋4＋…＋99＋100)＝－5050.梳理　奇偶并项求和的基本思路：有些数列单独看求和困难，但相邻项结合后会变成熟悉的等差数列、等比数列求和．但当求前n项和而n是奇数还是偶数不确定时，往往需要讨论．知识点三　裂项相消求和法思考　我们知道＝－，试用此公式求和：＋＋…＋.答案　由＝－得＋＋…＋＝1－＋－＋…＋－＝1－.梳理　如果数列的项能裂成前后抵

3、消的两项，可用裂项相消求和，此法一般先研究通项的裂法，然后仿照裂开每一项．裂项相消求和常用公式：(1)＝(－)；(2)＝(－)；(3)＝(－)；(4)＝[－]．类型一　分组分解求和例1　求和：Sn＝2＋2＋…＋2(x≠0)．解　当x≠±1时，Sn＝2＋2＋…＋2＝＋＋…＋＝(x2＋x4＋…＋x2n)＋2n＋＝＋＋2n＝＋2n；当x＝±1时，Sn＝4n.综上知，Sn＝反思与感悟　某些数列，通过适当分组，可得出两个或几个等差数列或等比数列，进而利用等差数列或等比数列的求和公式分别求和，从而得出原数列的和．跟踪训练1　求

4、数列1,1＋a,1＋a＋a2，…，1＋a＋a2＋…＋an－1，…的前n项和Sn.(其中a≠0，n∈N*)解　当a＝1时，an＝n，于是Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝.当a≠1时，an＝＝(1－an)．∴Sn＝[n－(a＋a2＋…＋an)]＝＝－.∴Sn＝类型二　裂项相消求和例2　求和：＋＋＋…＋，n≥2，n∈N*.解　∵＝＝，∴原式＝＝＝－(n≥2，n∈N*)．引申探究求和：＋＋＋…＋，n≥2，n∈N*.解　∵＝＝1＋，∴原式＝＋＋＋…＋＝(n－1)＋以下同例2解法．反思与感悟　求和前一般先对数列的通项公式变形，如果数

5、列的通项公式可转化为f(n＋1)－f(n)的形式，常采用裂项求和法．跟踪训练2　求和：1＋＋＋…＋，n∈N*.解　∵an＝＝＝2，∴Sn＝2＝.类型三　奇偶并项求和例3　求和：Sn＝－1＋3－5＋7－…＋(－1)n(2n－1)．解　当n为奇数时，Sn＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋(－9＋11)＋…＋[(－2n＋5)＋(2n－3)]＋(－2n＋1)＝2·＋(－2n＋1)＝－n.当n为偶数时，Sn＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…＋[(－2n＋3)＋(2n－1)]＝2·＝n.∴Sn＝(－1)nn(n∈N*)．反思与感悟　

6、通项中含有(－1)n的数列求前n项和时可以考虑使用奇偶并项法，分项数为奇数和偶数分别进行求和．跟踪训练3　已知数列－1,4，－7,10，…，(－1)n·(3n－2)，…，求其前n项和Sn.解　当n为偶数时，令n＝2k(k∈N*)，Sn＝S2k＝－1＋4－7＋10＋…＋(－1)n·(3n－2)＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋[(－6k＋5)＋(6k－2)]＝3k＝n；当n为奇数时，令n＝2k＋1(k∈N*)．Sn＝S2k＋1＝S2k＋a2k＋1＝3k－(6k＋1)＝.∴Sn＝1．数列{1＋2n－1}的前n项和为_

7、_______．答案　Sn＝n＋2n－1，n∈N*解析　∵an＝1＋2n－1，∴Sn＝n＋＝n＋2n－1.2．数列{}的前2016项和为________．答案　解析　因为＝2(－)，所以S2016＝2(1－＋－＋…＋－)＝2(1－)＝.3．已知在数列{an}中，a1＝1，a2＝2，当整数n>1时，Sn＋1＋Sn－1＝2(Sn＋S1)都成立，则S5＝________.答案　21解析　由Sn＋1＋Sn－1＝2(Sn＋S1)可得(Sn＋1－Sn)－(Sn－Sn－1)＝2S1＝2，即an＋1－an＝2(n≥2，n∈N*)，

8、即数列{an}从第二项起构成等差数列，则S5＝1＋2＋4＋6＋8＝21.4．已知数列an＝则S100＝________.答案　5000解析　由题意得S100＝a1＋a2＋…＋a99＋a100＝(a1＋a3＋a5＋…＋a99)＋(a2＋a4＋…＋a100)＝(0＋2＋4＋…＋98)＋(2＋4＋6＋…＋100)＝5000.求数列的前n项和，一般有下列几种方法．1