高中数学 第二章 数列 习题课 数列求和学案 新人教b版必修5

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1、习题课　数列求和[学习目标]　1.能由简单的递推公式求出数列的通项公式.2.掌握数列求和的几种基本方法．[预习导引]1．基本求和公式(1)等差数列的前n项和公式：Sn＝＝na1＋d.(2)等比数列前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝＝.2．数列{an}的an与Sn的关系数列{an}的前n项和Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，则an＝3．拆项成差求和经常用到下列拆项公式(1)＝－.(2)＝(－)．(3)＝－.要点一　分组分解求和例1　求和：Sn＝(x＋)2＋(x2＋)2＋…＋(xn＋)2.解　当x≠±1时，Sn＝(x

2、＋)2＋(x2＋)2＋…＋(xn＋)2＝(x2＋2＋)＋(x4＋2＋)＋…＋(x2n＋2＋)＝(x2＋x4＋…＋x2n)＋2n＋(＋＋…＋)＝＋＋2n非常感谢上级领导对我的信任，这次安排我向股份公司述职，既是对我履行职责的监督，也是对我个人的关心和爱护，更是对**百联东方商厦有限公司工作的高度重视和支持。＝＋2n；当x＝±1时，Sn＝4n.综上知，Sn＝规律方法　某些数列，通过适当分组，可得出两个或几个等差数列或等比数列，进而利用等差数列或等比数列的求和公式分别求和，从而得出原数列的和．跟踪演练1　求数列{an}：1,1＋a,1＋a＋a

3、2，…，1＋a＋a2＋…＋an－1，…的前n项和Sn(其中a≠0)．解　当a＝1时，则an＝n，于是Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝.当a≠1时，an＝＝(1－an)．∴Sn＝[n－(a＋a2＋…＋an)]＝[n－]＝－.∴Sn＝要点二　错位相减法求和例2　已知等差数列{an}的前3项和为6，前8项和为－4.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝(4－an)qn－1(q≠0，n∈N＋)，求数列{bn}的前n项和Sn.解　(1)设{an}的公差为d，则由已知得即解得a1＝3，d＝－1，故an＝3－(n－1)＝4－n.(2)由(1)知，b

4、n＝n·qn－1，于是Sn＝1·q0＋2·q1＋3·q2＋…＋n·qn－1，若q≠1，上式两边同乘以q.qSn＝1·q1＋2·q2＋…＋(n－1)·qn－1＋n·qn，两式相减得：(1－q)Sn＝1＋q1＋q2＋…＋qn－1－n·qn＝－n·qn.∴Sn＝－＝.若q＝1，则Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝，∴Sn＝规律方法　用错位相减法求和时，应注意：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“Sn”与“qSn非常感谢上级领导对我的信任，这次安排我向股份公司述职，既是对我履行职责的监督，也是对我个人的关心和爱护，更

5、是对**百联东方商厦有限公司工作的高度重视和支持。”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式．若公比是个参数(字母)，则应先对参数加以讨论，一般情况下分等于1和不等于1两种情况分别求和．跟踪演练2　数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an＋1＝2Sn(n∈N＋)．(1)求数列{an}的通项an；(2)求数列{nan}的前n项和Tn.解　(1)∵an＋1＝2Sn，∴Sn＋1－Sn＝an＋1＝2Sn，∴Sn＋1＝3Sn.又∵S1＝a1＝1，∴数列{Sn}是首项为1，公比为3的等比数列．∴Sn＝3n

6、－1(n∈N＋)．当n≥2时，an＝2Sn－1＝2·3n－2，且a1＝1，∴an＝(2)Tn＝a1＋2a2＋3a3＋…＋nan，当n＝1时，T1＝1；当n≥2时，Tn＝1＋4·30＋6·31＋…＋2n·3n－2，①∴3Tn＝3＋4·31＋6·32＋…＋2n·3n－1，②①－②得－2Tn＝2＋2(31＋32＋…＋3n－2)－2n·3n－1＝2＋2·－2n·3n－1＝－1＋(1－2n)·3n－1，∴Tn＝＋(n－)3n－1(n≥2)，又∵T1＝a1＝1也满足上式，∴Tn＝＋(n－)3n－1(n∈N＋)．要点三　裂项相消求和例3　求和：＋＋＋

7、…＋，n≥2.解　∵＝＝(－)，∴原式＝[(1－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)]＝(1＋－－)＝－.规律方法　如果数列的通项公式可转化为f(n＋1)－f(n)的形式，常采用裂项求和法．跟踪演练3　求和：1＋＋＋…＋.解　∵an＝＝＝2(－)，非常感谢上级领导对我的信任，这次安排我向股份公司述职，既是对我履行职责的监督，也是对我个人的关心和爱护，更是对**百联东方商厦有限公司工作的高度重视和支持。∴Sn＝2(1－＋－＋…＋－)＝.要点四　奇偶并项求和例4　求和：Sn＝－1＋3－5＋7－…＋(－1)n(2n－1)．解　当n为奇数时，Sn＝(

8、－1＋3)＋(－5＋7)＋(－9＋11)＋…＋[(－2n＋5)＋(2n－3)]＋(－2n＋1)＝2·＋(－2n＋1)＝－n.当n为偶数时，Sn＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…＋[(－2n＋3)＋(2n－1)