2018版高中数学 第二章 数列 习题课 数列求和学案 新人教A版必修5.doc

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1、习题课数列求和[学习目标]　掌握数列求和的几种基本方法．知识点　数列求和的方法1．基本求和公式(1)等差数列的前n项和公式：Sn＝＝na1＋d.(2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝＝.2．倒序相加法如果一个数列{an}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和即是用此法推导的．思考　已知f(x)＝，利用等差数列求和的方法求f()＋f()＋f()＋f()＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝________．答案　解析　设原式＝S，则S＝f(5)＋f(4)＋f(3

2、)＋f(2)＋f(1)＋f()＋f()＋f()＋f()，∵f(n)＋f()＝＋＝1，∴S＝4＋f(1)＝4＋＝.3．错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和就是用此法推导的．4．裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．裂项相消求和经常用到下列拆项公式：(1)＝－；(2)＝；(3)＝－．5．分组求和法分组求和一般适用于两种形式：(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求{an}的前n项和；(2)通项公式为an＝的数列

3、，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．6．并项求和法一个数列的前n项和，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．题型一　分组求和法例1　在等差数列{an}中，a2＝4，a4＋a7＝15.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝2an－2＋n，求b1＋b2＋b3＋…＋b10的值．解　(1)设等差数列{an}的公差为d.由已知得解得所以an＝a1＋(n－1)d＝n＋2.(2)由(1)可得bn＝2n＋n，所以b1＋b2＋b3＋…＋b10＝(2＋1)＋(22＋2)＋(23＋3)＋…＋(210＋10)＝(2＋22＋

4、23＋…＋210)＋(1＋2＋3＋…＋10)＝＋＝(211－2)＋55＝211＋53＝2101.反思与感悟　某些数列通过适当分组，可得出两个或几个等差数列或等比数列，进而利用等差数列或等比数列的求和公式分别求和，从而得出原数列的和．跟踪训练1　已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且b2＝3，b3＝9，a1＝b1，a14＝b4.(1)求{an}的通项公式；(2)设cn＝an＋bn，求数列{cn}的前n项和．解　(1)设数列{an}的公差为d，{bn}的公比为q，由得∴{bn}的通项公式bn＝b1qn－1＝3n－1，又a1＝b1＝1，a14＝b4＝34－1＝27，∴1＋(14－1)d＝2

5、7，解得d＝2.∴{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×2＝2n－1(n＝1，2，3，…)．(2)设数列{cn}的前n项和为Sn.∵cn＝an＋bn＝2n－1＋3n－1，∴Sn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn＝2×1－1＋30＋2×2－1＋31＋2×3－1＋32＋…＋2n－1＋3n－1＝2(1＋2＋…＋n)－n＋＝2×－n＋＝n2＋.即数列{cn}的前n项和为n2＋.题型二　错位相减法求和例2　设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝4S2，a2n＝2an＋1.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设数列{bn}满足＋＋…＋＝1－，n∈N*，求{bn}的前n项和Tn.解

6、　(1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由S4＝4S2，a2n＝2an＋1得解得a1＝1，d＝2，因此an＝2n－1，n∈N*.(2)由已知＋＋…＋＝1－，n∈N*，当n＝1时，＝，当n≥2时，＝1－－＝，所以＝，n∈N*.由(1)知an＝2n－1，n∈N*，所以bn＝，n∈N*，所以Tn＝＋＋＋…＋，Tn＝＋＋＋…＋＋，两式相减得Tn＝＋－＝－－，所以Tn＝3－.反思与感悟　用错位相减法求和时，应注意：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式．若公比是

7、个参数(字母)，则应先对参数加以讨论，一般情况下分等于1和不等于1两种情况分别求和．跟踪训练2　数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an＋1＝2Sn(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项an；(2)求数列{nan}的前n项和Tn.解　(1)∵an＋1＝2Sn，∴Sn＋1－Sn＝an＋1＝2Sn，∴＝3.又∵S1＝a1＝1，∴数列{Sn}是首项为1，公比为3的等比数列．∴Sn＝3n－1(n∈N*)．当n≥