高中数学 第二章 数列 2.3 等差数列的前n项和学案（含解析）新人教A版必修.doc

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1、2.3等差数列的前n项和数列的前n项和[导入新知]数列的前n项和对于数列{an}，一般地，称a1＋a2＋…＋an为数列{an}的前n项和，用Sn表示，即Sn＝a1＋a2＋…＋an.[化解疑难]数列的前n项和就是指从数列的第1项a1起，一直到第n项an所有项的和.等差数列的前n项和[提出问题]如图，某仓库堆放的一堆钢管，最上面的一层有4根钢管，下面的每一层都比上一层多一根，最下面的一层有9根．问题1：共有几层？图形的横截面是什么形状？提示：六层，等腰梯形．问题2：假设在这堆钢管旁边再倒放上捆扎着的同样一堆钢管，如图所示，则这样共有多少钢管？提示：(4＋9)×6＝78.问题3：原来有多

2、少根钢管？提示：×78＝39.问题4：能否利用前面问题推导等差数列前n项和公式Sn＝a1＋a2＋…＋an?提示：能．Sn＝a1＋a2＋…＋an，Sn＝an＋an－1＋…＋a1，相加：2Sn＝(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋…＋(an＋a1)＝n(a1＋an)，∴Sn＝.问题5：试用a1，d，n表示Sn.提示：∵an＝a1＋(n－1)d，∴Sn＝＝na1＋d.[导入新知]等差数列的前n项和公式已知量首项、末项与项数首项、公差与项数选用公式Sn＝Sn＝na1＋d[化解疑难]等差数列前n项和公式的特点(1)两个公式共涉及a1，d，n，an及Sn五个基本量，它们分别表示等差数列的首项、

3、公差、项数、通项和前n项和．(2)当已知首项、末项和项数时，用前一个公式较为简便；当已知首项、公差和项数时，用后一个公式较好．等差数列前n项和的有关计算[例1]　(1)(北京高考)已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和，若a1＝，S2＝a3，则a2＝__________；Sn＝________.(2)在等差数列{an}中，已知d＝2，an＝11，Sn＝35，求a1和n.[解]　(1)设公差为d，则由S2＝a3得2a1＋d＝a1＋2d，所以d＝a1＝，故a2＝a1＋d＝1，Sn＝na1＋d＝.(2)由得解方程组，得或[答案]　(1)1　[类题通法]a1，d，n称为等差数列的三个基本

4、量，an和Sn都可以用这三个基本量来表示，五个量a1，d，n，an，Sn中可知三求二，即等差数列的通项公式及前n项和公式中“知三求二”的问题，一般是通过通项公式和前n项和公式联立方程(组)来求解．这种方法是解决数列运算的基本方法，在具体求解过程中应注意已知与未知的联系及整体思想的运用．[活学活用]已知等差数列{an}．(1)a1＝，a15＝－，Sn＝－5，求n和d；(2)a1＝4，S8＝172，求a8和Sn.解：(1)∵a15＝＋(15－1)d＝－，∴d＝－.又Sn＝na1＋·d＝－5，解得n＝15，n＝－4(舍去)．(2)由已知，得S8＝＝＝172，解得a8＝39.又∵a8＝4＋

5、(8－1)d＝39，∴d＝5.∴Sn＝4n＋×5＝n2＋n.已知Sn求通项公式an[例2]　已知数列{an}的前n项和Sn＝－2n2＋n＋2.(1)求{an}的通项公式；(2)判断{an}是否为等差数列．[解]　(1)∵Sn＝－2n2＋n＋2，∴当n≥2时，Sn－1＝－2(n－1)2＋(n－1)＋2＝－2n2＋5n－1，∴an＝Sn－Sn－1＝(－2n2＋n＋2)－(－2n2＋5n－1)＝－4n＋3.又a1＝S1＝1，不满足an＝－4n＋3，∴数列{an}的通项公式是an＝(2)由(1)知，当n≥2时，an＋1－an＝[－4(n＋1)＋3]－(－4n＋3)＝－4，但a2－a1＝－5

6、－1＝－6≠－4，∴{an}不满足等差数列的定义，{an}不是等差数列．[类题通法]已知数列{an}的前n项和公式Sn，求通项公式an的步骤：(1)当n＝1时，a1＝S1；(2)当n≥2时，根据Sn写出Sn－1，化简an＝Sn－Sn－1；(3)如果a1也满足当n≥2时，an＝Sn－Sn－1的通项公式，那么数列{an}的通项公式为an＝Sn－Sn－1.如果a1不满足当n≥2时，an＝Sn－Sn－1的通项公式，那么数列{an}的通项公式要分段表示为an＝(如本例)[活学活用]已知下面各数列{an}的前n项和Sn的公式，求{an}的通项公式．(1)Sn＝2n2－3n；(2)Sn＝3n－2

7、.解：(1)当n＝1时，a1＝S1＝2×12－3×1＝－1；当n≥2时，Sn－1＝2(n－1)2－3(n－1)＝2n2－7n＋5，则an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－(2n2－7n＋5)＝2n2－3n－2n2＋7n－5＝4n－5.此时若n＝1，an＝4n－5＝4×1－5＝－1＝a1，故an＝4n－5.(2)当n＝1时，a1＝S1＝31－2＝1；当n≥2时，Sn－1＝3n－1－2，则an＝Sn－Sn－1＝(3n－2)－(3n－1－2)＝3n－3n－1＝3·3n－1