高中数学 第二章 数列 2.2 等差数列（2）学案 新人教A版必修.doc

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1、2.2等差数列（1）学习目标　1.能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质.2.能运用等差数列的性质解决有关问题．知识点一　等差数列通项公式的推广思考1　已知等差数列{an}的首项a1和公差d能表示出通项an＝a1＋(n－1)d，如果已知第m项am和公差d，又如何表示通项an?答案　设等差数列的首项为a1，则am＝a1＋(m－1)d，变形得a1＝am－(m－1)d，则an＝a1＋(n－1)d＝am－(m－1)d＋(n－1)d＝am＋(n－m)d.思考2　由思考1可得d＝，d＝，你能联系直线的斜率解释一下这两个式子的几何意义吗？答案　等差数列通项公式可变形为an＝dn＋(a1－d)，其图象为一

2、条直线上孤立的一系列点，(1，a1)，(n，an)，(m，am)都是这条直线上的点．d为直线的斜率，故两点(1，a1)，(n，an)连线的斜率d＝.当两点为(n，an)，(m，am)时，有d＝.梳理　等差数列{an}中，若公差为d，则an＝am＋(n－m)d，当n≠m时，d＝.知识点二　等差数列的性质思考　还记得高斯怎么计算1＋2＋3＋…＋100的吗？推广到一般的等差数列，你有什么猜想？答案　利用1＋100＝2＋99＝….在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和．即a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝….梳理　在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p

3、，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq.特别地，若m＋n＝2p，则an＋am＝2ap.知识点三　由等差数列衍生的新数列思考　若{an}是公差为d的等差数列，那么{an＋an＋2}是等差数列吗？若是，公差是多少？答案　∵(an＋1＋an＋3)－(an＋an＋2)＝(an＋1－an)＋(an＋3－an＋2)＝d＋d＝2d.∴{an＋an＋2}是公差为2d的等差数列．梳理　若{an}，{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有数列结论{c＋an}公差为d的等差数列(c为任一常数){c·an}公差为cd的等差数列(c为任一常数){an＋an＋k}公差为2d的等差数列(k为常数，k∈N*){pan＋q

4、bn}公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为常数)类型一　等差数列推广通项公式的应用例1　在等差数列{an}中，已知a2＝5，a8＝17，求数列的公差及通项公式．解　因为a8＝a2＋(8－2)d，所以17＝5＋6d，解得d＝2.又因为an＝a2＋(n－2)d，所以an＝5＋(n－2)×2＝2n＋1.反思与感悟　灵活利用等差数列的性质，可以减少运算．跟踪训练1　数列{an}的首项为3，{bn}为等差数列，且bn＝an＋1－an(n∈N*)，若b3＝－2，b10＝12，则a8等于(　　)A．0B．3C．8D．11答案　B解析　∵{bn}为等差数列，设其公差为d，则d＝＝＝2，∴bn＝b3＋(n－3

5、)d＝2n－8.∴a8＝(a8－a7)＋(a7－a6)＋(a6－a5)＋(a5－a4)＋(a4－a3)＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1＝b7＋b6＋…＋b1＋a1＝(b7＋b1)＋(b6＋b2)＋(b5＋b3)＋b4＋a1＝7b4＋a1＝7×0＋3＝3.类型二　等差数列与一次函数的关系例2　已知数列{an}的通项公式an＝pn＋q，其中p，q为常数，那么这个数列一定是等差数列吗？若是，首项和公差分别是多少？解　取数列{an}中任意相邻两项an和an－1(n>1)，求差得an－an－1＝(pn＋q)－[p(n－1)＋q]＝pn＋q－(pn－p＋q)＝p.它是一个与n无关的常数，所以{an}

6、是等差数列．由于an＝pn＋q＝q＋p＋(n－1)p，所以首项a1＝p＋q，公差d＝p.反思与感悟　本题可以按照解析几何中的直线问题求解，但是，如果换个角度，利用构造等差数列模型来解决，更能体现出等差数列这一函数特征，这种解答方式的转变，同学们要在学习中体会，在体会中升华．跟踪训练2　某公司经销一种数码产品，第1年获利200万元，从第2年起由于市场竞争等方面的原因，利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？解　由题意可知，设第1年获利为a1，第n年获利为an，则an－an－1＝－20(n≥2，n∈N*)，每年获利构成

7、等差数列{an}，且首项a1＝200，公差d＝－20.所以an＝a1＋(n－1)d＝200＋(n－1)×(－20)＝－20n＋220.若an＜0，则该公司经销这一产品将亏损，由an＝－20n＋220＜0，解得n＞11，即从第12年起，该公司经销这一产品将亏损．类型三　等差数列性质的应用例3　已知等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45，求此数列的通项公式．解　方法一　因为a1