高中数学 第二章 平面向量 2.1.1 向量的概念学案 新人教B版必修.doc

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1、2.1 向量的线性运算2.1.1 向量的概念[学习目标] 1.能结合物理中的位移认识向量,掌握向量与数量的区别.2.会用有向线段作向量的几何表示,了解有向线段与向量的联系与区别,会用字母表示向量.3.理解零向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念,会辨识图形中这些相关的概念.[知识链接]1.力和位移都是既有大小,又有方向的量,在物理学中常称为矢量,在数学中叫做向量;而把那些只有大小,没有方向的量称为数量,在物理学中常称为标量.2.已知下列各量:①力;②功;③速度;④质量;⑤温度;⑥位移;⑦加速度;⑧重力;⑨路程;⑩密度.其中是数量的有②

2、④⑤⑨⑩,是向量的有①③⑥⑦⑧.3.向量与数量有什么联系和区别?答 联系是:向量与数量都是有大小的量;区别是:向量有方向且不能比较大小,数量无方向且能比较大小.[预习导引]1.向量的概念既有大小,又有方向的量叫做向量.2.向量的几何表示以A为始点,以B为终点的有向线段记作.3.向量的有关概念(1)零向量:长度等于零的向量叫做零向量,记作0.规定:零向量与任意向量平行.(2)相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.(3)平行向量(共线向量):如果向量的基线互相平行或重合,则称这些向量共线或平行.也就是说方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,

3、也叫共线向量.向量a平行于b,记作a∥b.要点一 向量的概念例1 给出下列各命题:①零向量没有方向;②若

4、a

5、=

6、b

7、,则a=b;③向量就是有向线段;④两相等向量若其起点相同,则终点也相同;⑤若a=b,b=c,则a=c;⑥若a∥b,b∥c,则a∥c;⑦若四边形ABCD是平行四边形,则=,=.其中正确命题的序号是________.答案 ④⑤解析 ①该命题不正确,零向量不是没有方向,只是方向不定;②该命题不正确,

8、a

9、=

10、b

11、只是说明这两向量的模相等,但其方向未必相同;③该命题不正确,有向线段只是向量的一种表示形式,但不能把两者等同起来;④该命题正确

12、,因两相等向量的模相等,方向相同,故当它们的起点相同时,其终点必重合;⑤该命题正确,由向量相等的定义知,a与b的模相等,b与c的模相等,从而a与c的模相等;又a与b的方向相同,b与c的方向相同,从而a与c的方向也必相同,故a=c;⑥该命题不正确,因若b=0,则对两不共线的向量a与c,也有a∥0,0∥c,但a[KG-2.5mm]∥c;⑦该命题不正确.如图所示,显然有≠,≠.规律方法 要充分理解与向量有关的概念,明白它们各自所表示的含义,搞清它们之间的区别是解决与向量概念有关问题的关键.跟踪演练1 给出下列命题:①若

13、a

14、=

15、b

16、,则a=b或a=-

17、b;②向量的模一定是正数;③起点不同,但方向相同且模相等的几个向量是相等向量;④向量与是共线向量,则A、B、C、D四点必在同一直线上.其中正确命题的序号是________.答案 ③解析 ①错误.由

18、a

19、=

20、b

21、仅说明a与b模相等,但不能说明它们方向的关系.②错误.0的模

22、0

23、=0.③正确.对于一个向量只要不改变其大小和方向,是可以任意移动的.④错误.共线向量即平行向量,只要求方向相同或相反即可,并不要求两个向量、必须在同一直线上.要点二 向量的表示例2 在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1),用直尺和圆规画出下列向量:(1),使

24、

25、=4,点A

26、在点O北偏东45°;(2),使

27、

28、=4,点B在点A正东;(3),使

29、

30、=6,点C在点B北偏东30°.解 (1)由于点A在点O北偏东45°处,所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等.又

31、

32、=4,小方格边长为1,所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4,于是点A位置可以确定,画出向量如图所示.(2)由于点B在点A正东方向处,且

33、

34、=4,所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4,纵向小方格数为0,于是点B位置可以确定,画出向量如图所示.(3)由于点C在点B北偏东30°处,且

35、

36、=6,依据勾股定理可得:在坐标纸上点C距点B的横

37、向小方格数为3,纵向小方格数为3≈5.2,于是点C位置可以确定,画出向量如图所示.规律方法 在画图时,向量是用有向线段来表示的,用有向线段的长度表示向量的大小,用箭头所指的方向表示向量的方向.应该注意的是有向线段是向量的表示,并不是说向量就是有向线段.跟踪演练2 中国象棋中规定:马走“日”字.下图是中国象棋的半个棋盘,若马在A处,可跳到A1处,也可跳到A2处,用向量或表示马走了“一步”.试在图中画出马在B,C处走了“一步”的所有情况.解 根据规则,画出符合要求的所有向量.马在B处走了“一步”的情况如图(1)所示;马在C处走了“一步”的情况如图(2

38、)所示.要点三 相等向量与共线向量例3 如图所示,O为正方形ABCD对角线的交点,四边形OAED、OCFB都是正方形.(1)写出与相等的

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