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《高中数学 第三章 推理与证明 3.3.1 综合法与分析法-综合法教案 北师大选修.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、3.3.1综合法与分析法-综合法学习目标1．理解综合法的思维过程及其特点；2．掌握运用综合法证明数学问题的一般步骤，能运用综合法证明简单的数学问题。学法指导在充分理解综合法的特点的基础上，体会综合法证题的思维过程和步骤；并通过例题的学习和练习逐步学会运用综合法进行简单的数学证明。事实上，我们对综合法应该很熟悉，以前进行的几何、不等式、三角恒等式的证明，大多运用的都是综合法，数学的解答题的解答过程也是运用综合法进行表述的。重点:理解综合法的思维过程和特点；难点：运用综合法证（解）题时，找出有效的推理“路线”；教学过程：学生探究过程：合情推理分归纳推理和类比推
2、理，所得的结论的正确性是要证明的，数学中的两大基本证明方法-------直接证明与间接证明。若要证明下列问题：已知a,b>0,求证教师活动：给出以上问题，让学生思考应该如何证明，引导学生应用不等式证明。教师最后归结证明方法。学生活动：充分讨论，思考，找出以上问题的证明方法设计意图：引导学生应用不等式证明以上问题，引出综合法的定义证明:因为,所以,因为,所以.因此,.P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等,Q表示要证明的结论1.综合法综合法：利用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数定理）和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法叫
3、做综合法用综合法证明不等式的逻辑关系是：综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法例1、在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为,且A,B,C成等差数列,成等比数列,求证△ABC为等边三角形.分析：将A,B,C成等差数列，转化为符号语言就是2B=A+C;A,B,C为△ABC的内角，这是一个隐含条件，明确表示出来是A+B+C=；a,b，c成等比数列，转化为符号语言就是．此时，如果能把角和边统一起来，那么就可以进一步寻找角和边之间的关系，进而判断三角形的形状，余弦定理正好满足要求．于是，可以用余弦
4、定理为工具进行证明．解决数学问题时，往往要先作语言的转换，如把文字语言转换成符号语言，或把符号语言转换成图形语言等．还要通过细致的分析，把其中的隐含条件明确表示出来．例2、已知求证本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。注：比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。用比较法证明不等式的步骤是：作差（或作商）、变形、判断符号。讨论：若题设中去掉这一限制条件，要求证的结论如何变换？典例分析例1设，求证：分析：左边乘以“”，然后运用均值不等式。变式练习1已知，求证：证明：左边=例2已知二次函数（均为实数），满足，对于任意的实数都有，并且时，总有。（1
5、）求的值；（2）证明：；（3）当时函数（其中为实数），是单调的，求证：或。分析：注意到对恒成立，用即可求得，这是用不等式求值的一般思路。运用条件：“对于任意的实数都有”可证（2），（3）的证明思路就是利用二次函数的单调区间。变式练习2已知：，求证：（1）为偶函数；（2）例3.已知a，b，c都是实数，求证：a2＋b2＋c2≥(a＋b＋c)2≥ab＋bc＋ca.解题导引 综合法证明不等式，要特别注意基本不等式的运用和对题设条件的运用．这里可从基本不等式相加的角度先证得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca成立，再进一步得出结论．变式迁移1 设a，b，c>0，证明：
6、＋＋≥a＋b＋c.基础训练1．(12分)已知a、b、c>0，求证：a3＋b3＋c3≥(a2＋b2＋c2)(a＋b＋c)．2.求证：是函数的一个周期。3.（韦达定理）已知和是一元二次方程的两个根。求证：。4.已知：x,y,z为互不相等的实数，且求证：课堂小结1．综合法的思考过程（如图）：2．综合法的特点：①综合法的证题过程是从“已知”看“可知”，再由“已知（包括上一步的结果）”看“可知”，……，最后推导出“未知”的“由因导果”的过程；②由于已知条件有不同组合，每个组合又有不同的中间结果出现，这些中间结果不是对解题都有用，因此如何找到有效的推理“路线”是运用综
7、合法的难点，换言之：运用综合法解题有一定的盲目性。③运用综合法解题，步骤严谨，逐层递进，条理清晰，宜于表达。是我们在解题中的主要的表达方式。第二节综合法与分析法综合法答案例1证明：由A,B,C成等差数列，有2B=A+C．①因为A,B,C为△ABC的内角，所以A+B+C=．⑧由①②，得B=.由a,b，c成等比数列，有.由余弦定理及③，可得.再由④，得.,因此.从而A=C.由②③⑤，得A=B=C=.所以△ABC为等边三角形．例2证明：1)差值比较法：注意到要证的不等式关于对称，不妨设，从而原不等式得证。2）商值比较法：设故原不等式得证。典例分析例1证明：∵例3
8、证明 ∵a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca
