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《高中数学第三章推理与证明3.3综合法与分析法3.3.1综合法知识导航素材》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、3.1综合法自主整理1.从命题的条件出发,利用____________、____________、____________及____________,通过____________,一步步地接近要证明的结论,直到完成命题的证明,这种思维方法称为____________.高手笔记1.综合法的思考过程为“由因导果”的顺序，是从条件逐步推演到结论.2.对于命题“若P则Q”的综合法证明可用框图表示为：名师解惑综合法的解释剖析:综合法是从已知条件出发,经过推理,导出所要的结论,步骤比较简洁明了,但入手点比较难找.一
2、般地,对于命题“若A则D”,用综合法证明时,思考过程可表示为综合法的思考过程是由因导果的顺序,是从A推演到D的途径,但由A推演出的中间结论未必唯一,如B,B1,B2等.由B,B1,B2推演出的进一步的中间结论则可能更多,如C,C1,C2,C3,C4等,最终能有一个(或多个)可推演出结论D即可.在综合法中,每个推理都必须是正确的,每个论断都应当是前面一个论断的必然结果.因此所用语气必须是肯定的.讲练互动【例1】设数列{an}的前n项和为Sn,且(3-m)Sn+2man=m+3(其中m为常数,n∈N+),且
3、m≠-3.(1)求证:{an}为等比数列;(2)若数列{an}的公比q=f(m),数列{bn}满足b1=a1,bn=f(bn-1)(n∈N+,n≥2),求证:{}为等差数列.分析：本题要证数列为等差、等比数列,所以需按定义研究an+1与an的关系,而已知为Sn,需将Sn化为an,它们之间的关系为an=S1,Sn-Sn-1,n=1,n≥2.证明：(1)由(3-m)Sn+2man=m+3,得(3-m)Sn+1+2man+1=m+3,∴(3+m)an+1=2man(m≠-3).∴.∴{an}为等比数列.(2)
4、由已知q=f(m)=,b1=a1=1,5∴当n≥2时,bn=f(bn-1)=·.∴bnbn-1+3bn=3bn-1.∴.∴{}是首项为1、公差为的等差数列.绿色通道证明数列为等差、等比数列需紧扣定义,找到an+1与an之间的关系,由已知前n项和Sn,求出an=由已知条件逐步变形得到,从而得证.变式训练1.已知f(x)=,Pn(an,)在曲线y=f(x)上(n∈N+)且a1=1,an>0.(1)求{an}的通项公式.(2)数列{bn}的前n项和为Tn,且满足+16n2-8n-3.设定b1的值,使得数列{b
5、n}是等差数列.解:(1)由已知Pn在曲线y=f(x)上,∴=.∴=4.∴{}是等差数列,=1+4(n-1)=4n-3.∵an>0,∴an=.(2)∵=+16n2-8n-3=+(4n-3)(4n+1),即(4n-3)Tn+1=(4n+1)Tn+(4n-3)(4n+1),5∴=+1.∴{}为等差数列,首项为=b1,=b1+(n-1)=n+(b1-1).∴Tn=(4n-3)［n+(b1-1)］=4n2+(4b1-7)n-3(b1-1).要使{bn}为等差数列,需使b1-1=0,∴b1=1.当b1=1时,Tn
6、=4n2-3n,bn=8n-7.∴{bn}为等差数列.【例2】如图所示,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,过A作SB的垂线,垂足为E,过E作SC的垂线,垂足为F.求证:AF⊥SC.分析：本题所要证的是线线垂直,可通过线面垂直来判定,而已知条件为线线垂直、线面垂直,通常我们需要将线面垂直转化为线线垂直,再由线线垂直转化为线面垂直,从而得证.证明：∵SA⊥面ABC,∴SA⊥BC.∵AB⊥BC,∴BC⊥面SAB.∵AE面SAB,∴BC⊥AE.∵AE⊥SB,∴AE⊥面SBC.∴AE⊥SC.又∵EF⊥SC,∴SC⊥面
7、AEF.∴SC⊥AF.绿色通道从已知条件及已有定理入手,直接推证,线线垂直与线面垂直相互转化来加以证明.变式训练2.如图所示,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是正方形,PA⊥底面ABCD.求证:PC⊥BD.证明:∵PA⊥面ABCD,PC为平面ABCD的斜线,PC在面ABCD内的射影为AC,连结BD,∵四边形ABCD为正方形,∴AC⊥BD.∴PC⊥BD.5【例3】若a、b、c∈R+,求证:≥abc.分析：不等式的形式对称,分子出现平方和,可利用重要不等式,用综合法证明.证明：∵a2b2+b2c2≥2a
8、b2c,b2c2+c2a2≥2abc2,c2a2+a2b2≥2a2bc,∴a2b2+b2c2+c2a2≥ab2c+abc2+a2bc,即a2b2+b2c2+c2a2≥abc(a+b+c).∵a、b、c∈R+,∴a+b+c>0.∴≥abc.绿色通道不等式中出现平方和,而其他出现乘积结构,可从重要不等式入手用综合法证明.变式训练3.已知a+b+c=0,求证:ab+bc+ca≤0.证明:∵a+b+c=0,∴(a+b+c)2=0,即a2+b2+c2
