高中数学第三章推理与证明3.3综合法与分析法3.3.2分析法知识导航素材

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1、3.2分析法自主整理从求证的结论出发,一步一步地探索保证前一个结论成立的______________,直到归结为这个命题的______________或归结为______________、______________、______________等,我们把这种思维方法称为______________.高手笔记1.分析法的思考过程为“执果索因”的顺序，是从求证的结论出发，步步探索结论成立的条件.2.对于命题“若P则Q”的分析法证明可用框图表示为名师解惑分析法的解释剖析:分析法是从要证的结论入手,分析结论成立的一个

2、充分条件,步骤书写较为繁杂,但入手点较低,易找出问题的突破口.用分析法思考数学问题的顺序可理解为(对于命题“若A则D”）分析法的思考顺序是执果索因的顺序,是从D上溯寻其论据,如C,C1,C2等,再寻求C,C1,C2的论据,如B,B1,B2,B3,B4等等,继而寻求B,B1,B2,B3,B4的论据,如果其中之一B的论据恰好为已知条件,于是命题得证.在分析法中,就应当用假设的语气,习惯上常用这样一类语句:假如要A成立,就必须先有B成立;如果要有B成立,又只需有C成立……从结论一直推到已知条件.当我们应用分析法时,所

3、有各个中间的辅助命题,仅仅考虑到它们都是同所要证明的命题是等效的,而并不是确信它们都是真实的,直至达到最后已知条件或明显成立的事实后,我们才确信它是真实的,从而可以推知前面所有与之等效的命题也都是真实的,于是命题就被证明了.讲练互动【例1】求证:+2<2+.分析：可以采用分析法,逐步化简转化求使得结论成立的充分条件.证法一：为了证明+2<2+,∵+2>0,2+>0,∴只需证明(+2)2<(2+)2,展开,得11+4<11+4,只需证4<4,只需证6<7.显然6<7成立.5∴+2<成立.证法二：为了证明+2<2+

4、,只要证明2-<2-,只要证明<∵2>2,>,∴2+>2+>0.∴<成立.∴+2<2+成立.绿色通道在不等式证明中直接证不易证的情况下,可通过分析法,逐步探索不等式成立的条件.变式训练1.求证:<.证明:要证-<-,只需证+<+.∵+>0,+>0,只需证(+)2<(+)2,即9+<9+,只需证<,只需证14<18.显然14<18成立.∴-<-成立.【例2】已知a、b∈R+.求证:+≥+.分析：本题左边结构为分式结构,并且左、右都含有根号,从形式上看不易找到关系,可用分析法将要证的不等式变形一下就可证明.证明：要

5、证+≥+,只需证a+b≥(+),即证a(-)+b(-)≥0.只需证(a-b)(-)≥0,即(-)2(+)≥0.∵+>0,(-)2≥0,∴(-)2(+)≥0成立.5∴+≥+成立.绿色通道在不等式较复杂无从入手的情况下,可用分析法分析不等式成立所具备的条件.变式训练2.设a、b∈R+,且a≠b.求证:a3+b3>a2b+ab2.证明:要证a3+b3>a2b+ab2成立,只需证a3-a2b+b3-ab2>0,即a2(a-b)+b2(b-a)>0成立.即证(a-b)2(a+b)>0成立.∵a、b∈R+,∴a+b>0.又

6、∵a≠b,∴(a-b)2>0.∴(a-b)2(a+b)>0成立.∴a3+b3>a2b+ab2成立.【例3】已知a>b>0,求证:<<.分析：本题条件较为简单,结论比较复杂,看上去无从入手解答问题,所以我们可以从要证的结论入手,一步步探求结论成立的充分条件,即用分析法.证明：要证<-<成立,即<(-)2<成立.∵a>b>0,只需证<-<成立,只需证<1<成立.只需证+<2且2<+,即>成立.∵a>b>0,∴>成立.∴<-<成立.绿色通道在已知条件较为简单,所要证的问题较为复杂时,我们可从结论入手逆推,执果索因,找

7、到结论成立的条件.注明必要的文字说明,注意不等式的结构特点.变式训练3.设a>0,b>0,2c>a+b.5求证:c-

8、a-c

9、0,a+b<2c,∴a>0,a+b-2c<0.∴a(a+b-2c)<0成立.∴c0,y>0,且x≠y.求证:<.分析：注意到x、y的对称性,可能会想到重要不等式,但后续思路不好展开.可采用分析法,从消去

10、分数指数幂入手.解：要证<,只需证(x3+y3)2<(x2+y2)3,即x6+y6+2x3y30,y>0,只需证2xy<3(x2+y2).只需证2xy2xy成立.∴<成立.绿色通道在不便运用综合法的情况下,可考虑分析法,注意表述方法.变式训练4.已知a>0,求证