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《高中数学第三章推理与证明331综合法与分析法-综合法教案北师大选修1-2》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、3.3.1综合法与分析法-综合法学习目标1.理解综合法的思维过程及其特点；2.掌握运用综合法证明数学问题的一般步骤，能运用综合法证明简单的数学问题。学法指导在充分理解综合法的特点的基础上，体会综合法证题的思维过程和步骤；并通过例题的学习和练习逐步学会运用综合法进行简单的数学证明。事实上，我们对综合法应该很熟悉，以前进行的儿何、不等式、三角恒等式的证明，大多运用的都是综合法，数学的解答题的解答过程也是运用综合法进行表述的。重点：理解综合法的思维过程和特点；难点：运用综合法证(解)题吋，找出有效的推理“路线”；教学过程：学生探
2、究过程：合情推理分归纳推理和类比推理，所得的结论的正确性是要证明的，数学中的两大基本证明方法直接证明与间接证明。若要证明下列问题：己知a,b>0,求证a(b2+c2)+b(c2+a2)>4abc教师活动：给出以上问题，让学生思考应该如何证明，引导学生应用不等式证明。教师最后归结证明方法。学生活动：充分讨论，思考，找出以上问题的证明方法设计意图：引导学生应用不等式证明以上问题，引出综合法的定义证明：因为b2+c2>2bc,a>0,所以+c2)>2abc,因为c?4-a2>2ac,b>0,所以b(c2+a2)>2abc.因此,
3、a(b2+c2)+Z?(c24-a2)>4abc.P表示己知条件、己有的定义、定理、公理等,Q表示耍证明的结论1.综合法综合法：利用某些已经证明过的不等式(例如算术平均数与几何平均数定理)和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法叫做综合法用综合法证明不等式的逻辑关系是：(P=>Q)T(Q=>Q2)T@=>23)T.....T(Q“=>Q)综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法例1、在△ABC中，三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且A,B,
4、C成等差数列，a,b,c成等比数列，求证AABC为等边三角形.分析：将A,B,C成等差数列，转化为符号语言就是2B二A+C;A,B,C为AABC的内角，这是一个隐含条件，明确表示岀来是A+B+C二龙；a,b,c成等比数列，转化为符号语言就是b2=ac.此时，如果能把角和边统一起来，那么就可以进一步寻找角和边Z间的关系，进而判断三角形的形状，余弦定理正好满足要求.于是，可以用余弦定理为工具进行证明.解决数学问题时，往往要先作语言的转换，如把文字语言转换成符号语言，或把符号语言转换成图形语言等.还要通过细致的分析，把其中的隐含
5、条件明确表示出来.例2、已知求证aabb>abba.本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。注：比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。用比较法证明不等式的步骤是:作差(或作商)、变形、判断符号。讨论：若题设中去掉兀工1这一限制条件，要求证的结论如何变换?典例分析例1设a>O,b>O,a+b=1,求证：丄十丄+丄》8abab分析：左边乘以“l=d+b”，然后运用均值不等式。变式练习1已知。>0,/?>0,。+/?=4,求证：丄+丄niab口口卄Fa+ba^b1ba证明：左边二+=-+——+——>14a4b24
6、a4b例2已知二次函数f(x)=cix2+bx+c(a,h,c均为实数),满足/(-1)=0,对于任意的实数兀都有/(X)-X>0，并且XG(0,2)时，总有f(x)<(1)求/⑴的值；(2)证明：a>0,c>0；(3)当xw时函数g(%)=f{x)-iwc(英屮m为实数)，是单调的，求证：m<0或加》1。分析：注意到X0"可证(2),(3)的证明思路就是利用二次函数的单调区间。变式练习2
7、已知：/(X)=/_J_+1Y求证：(1)/⑴为偶函数；(2)fM>o2'-12丿例3.已知臼，b,c都是实数，求证：a+l/++Z?+c)'^ab+bc+ca.解题导引综合法证明不等式，耍特别注意基本不等式的运用和对题设条件的运用.这里可从基本不等式相加的角度先证得d+8+^ab+bc+ca成立，再进一步得岀结论.变式迁移1设日，b,q>0,证明:al}c7+—+—$日+b+c.bca基础训练1.(12分)已知$、b、c>0,求证：/+F+/)(曰+方+c).2.求证：龙是函数/(x)=sin(2x+-)的一个周期。4
8、3.(韦达定理)已知X］和兀2是一元二次方程+/?%+c=0((70,Z?2-4ac>0)的bc两个根。求证：兀］+兀？=,兀］兀2=—oaa4•己知：x,y,z为互不相等的实数，X求证:课堂小结1.综合法的思考过程（如图）：2.综合法的特点：①综合法的证题过程是从“已知”看“可知”，再由“己知（包括上
