高中数学 第三章 指数函数和对数函数 3.1 正整数指数函数学案 北师大版必修.doc

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1、3.1正整数指数函数[核心必知]1．定义一般地，函数y＝ax(a＞0，a≠1，x∈N＋)叫作正整数指数函数．其中x是自变量(x在指数位置上)，底数a是常数．2．图像特征正整数指数函数的图像是位于第一象限，且在x轴的上方的一群孤立的点．[问题思考]1．正整数指数函数的解析式的结构有何特征？提示：有三个特征：底数a为常数；指数为自变量x；系数为1.2．正整数指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的单调性与底数a的大小有何关系？提示：当0＜a＜1时，y＝ax是减少的，当a＞1时，y＝ax是增加的．讲一讲1．若函数y＝(a2－3a＋3)·(2a－1)x是正整数指数函数，则实

2、数a的值是________．[尝试解答]　由正整数指数函数的定义可知：即∴a＝2.答案：2正整数指数函数是一个形式定义，处理有关正整数指数函数概念的问题只要抓住它的三个特征确认与应用即可．练一练1．若函数f(x)＝(a2－4a＋4)·ax(x∈N＋)为正整数指数函数，则f(4)＝________.解析：由正整数指数函数的定义可知：即∴a＝3.∴f(x)＝3x，故f(4)＝34＝81.答案：81讲一讲2．画出函数：(1)y＝x，(2)y＝x(x∈N＋)的图像，并说明函数的单调性．[尝试解答]　在同一坐标系中分别画出函数y＝x和y＝x(x∈N＋)图像如图所示．由图像

3、知：函数y＝x(x∈N＋)是增加的；而y＝x(x∈N＋)是减少的．(1)正整数指数函数的图像特点：正整数指数函数是函数的一个特例，它的定义域是由一些正整数组成的集合，它的图像是由一些孤立的点组成的．(2)当0＜a＜1时，y＝ax(x∈N＋)是减函数．当a＞1时，y＝ax(x∈N＋)是增函数．练一练2．画出函数(1)y＝2x(x∈N＋)，(2)y＝x(x∈N＋)的图像，并说明它们的单调性．解：(1)函数y＝2x(x∈N＋)的图像如图(1)所示，由图像可知，该函数是增加的；(2)函数y＝x(x∈N＋)的图像如图(2)所示，由图像可知，该函数是减少的．　讲一讲3．某种

4、放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年，剩留的这种物质是原来的84%.(1)写出这种物质的剩留量y随时间x(x∈N＋)变化的函数关系式；(2)画出该函数的图像；(3)说明该函数的单调性；(4)利用图像求出经过多少年，剩留量是原来的一半．[尝试解答]　(1)设这种物质最初的质量是1，经过x年，剩留量是y.经过1年，剩留量y＝1×84%＝0.841；经过2年，剩留量y＝1×84%×84%＝0.842；……一般地，经过x年，剩留量y随时间x变化的函数关系式为y＝0.84x(x∈N＋)．(2)根据这个函数关系式可以列表如下：x0123456y10.840.710.590.

5、500.420.35用描点法画出正整数指数函数y＝0.84x的图像(如图)，它的图像是由一些孤立的点组成的．(3)通过计算和看图可知，随着时间的增加，剩留量在逐渐减少，即该函数为减函数．(4)从图像可以看出，当x＝4时，y≈0.5，即约经过4年，剩留量是原来的一半．实际问题中与“递增率”、“递减率”有关的问题，多抽象为正整数指数函数型函数y＝N(1±p%)x，x∈N＋(其中N为原产值，增长(减少)率为p，x为经过的时间)．练一练3．有关部门计划于2016年向某市投入128辆电力型公交车，且随后电力型公交车每年的投入量比上一年增加50%，试问，该市在2022年应投入

6、多少辆电力型公交车？解：由题意知，在2017年应投入电力型公交车的数量为128×(1＋50%)；在2018年应投入的数量为128×(1＋50%)(1＋50%)＝128×(1＋50%)2；……故在2022年应投入电力型公交车的数量为128×(1＋50%)6，即128×6＝1458(辆)．答：该市在2022年应投入1458辆电力型公交车．用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢的，若要使存留污垢不超过原来的1%，则至少要漂洗________次．[巧思]　先根据题意写出存留污垢与漂洗次数的函数关系式，再用估算法求解．[妙解]　函数关系式为y＝x(x∈N＋)．令x≤1%，得4x≥1

7、00.∵43＝64＜100,44＝256＞100，∴当x≥4时，4x≥100，故至少要漂洗4次．[答案]　41．给出下列函数：①y＝()x；②y＝x；③y＝3x＋1；④y＝(1－)x.当x∈N＋时，以上函数中是正整数指数函数的个数为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　A．1B．2C．3D．4答案：B2．函数f(x)＝3x－2中，x∈N＋且x∈[－1,3]，则f(x)的值域为(　　)A．{－1,1,7}B．{1,7,25}C．{－1,1,7,25}D.解析：选B　，∵x∈N＋且x∈[－1,3]，∴x∈，∴3x∈，∴f(x)∈.3．某产品计划每年成本降低的百分率