2018版高中数学第三章指数函数和对数函数3.1正整数指数函数学案北师大版必修1

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1、3.1　正整数指数函数1.了解正整数指数函数模型的实际背景．2.了解正整数指数函数的概念．(重点)3.理解具体的指数函数的图像特征．(重点)4.会用正整数指数函数解决某些实际问题．(难点)[基础·初探]教材整理　正整数指数函数的概念阅读教材P61～P63有关内容，完成下列问题．1.一般地，函数y＝ax(a>0，a≠1，x∈N＋)叫作正整数指数函数，其中x是自变量，定义域是正整数集N＋.2.正整数指数函数的图像特点前面我们学习过的一次函数与二次函数，它们的图像是连续不间断的，而正整数指数函数的图像是在第一象限内的一群孤立的点．3.当0

2、当a>1时，y＝ax(x∈N＋)是增函数．4.指数型函数把形如y＝kax(k∈R，a>0，且a≠1)的函数称为指数型函数．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)正整数指数函数的定义域为N.(　　)(2)正整数指数函数的图像是间断的．(　　)(3)函数y＝2·3x，x∈N＋是正整数指数函数．(　　)【答案】　(1)×　(2)√　(3)×[小组合作型]正整数指数函数的定义　(1)下列函数中是正整数指数函数的是(　　)A．y＝10x＋1，(x∈N＋)　　B．y＝(－2)x，(x∈N＋)C．y＝5·2x，(x∈N＋)D．y＝x，(x∈N＋)(2)函数y＝(a2－3a＋3)ax

3、是正整数指数函数，则a＝________.【精彩点拨】　明确正整数指数函数的结构形式是求解本例的关键．【尝试解答】　　(1)A中y＝10x＋1的指数为x＋1，而不是x，故不是正整数指数函数；B中y＝(－2)x的底数－2<0，故不是正整数指数函数；C中y＝5·2x的系数为5，不是1，故不是正整数指数函数；D中y＝x符合正整数指数函数的定义．(2)由正整数指数函数定义知解得∴a＝2.【答案】　(1)D　(2)2　1.正整数指数函数解析式的基本特征：ax前面的系数必须是1，自变量x∈N＋，且x在指数的位置上，底数a是大于零且不等于1的常数．2.要注意正整数指数函数y＝ax(a>0

4、，a≠1，x∈N＋)与幂函数y＝xa的区别．[再练一题]1.正整数指数函数f(x)过点，则f(x)＝______.【导学号：04100039】【解析】　设f(x)＝ax(a>0，a≠1)，∴a2＝，∴a＝，∴f(x)＝x，x∈N＋.【答案】　x，x∈N＋正整数指数函数的图像与性质　(1)画出函数y＝x(x∈N＋)的图像，并说明函数的单调性；(2)画出函数y＝3x(x∈N＋)的图像，并说明函数的单调性．【精彩点拨】　使用描点法画图像，但因为函数的定义域是N＋，所以图像应是一些孤立的点，画图像时就没有“连线”步骤了．【尝试解答】　　(1)函数y＝x(x∈N＋)的图像如图①所示，

5、从图像可知，函数y＝x(x∈N＋)是单调递减的．(2)函数y＝3x(x∈N＋)的图像如图②所示，从图像可知，函数y＝3x(x∈N＋)是单调递增的．①　　　　　　　　　　②1.正整数指数函数是函数的一个特例，它的定义域是由一些正整数组成的集合，它的图像是由一些孤立的点组成的．2.当01时，y＝ax(x∈N＋)是增函数．[再练一题]2.若函数y＝x的定义域为{1,2,3,4,5}，则函数的值域为________．【解析】　当x＝1时，f(x)＝，当x＝2时，f(2)＝2＝，当x＝3时，f(3)＝3＝，当x＝4时，f(4)＝4＝，当

6、x＝5时，f(5)＝5＝.所以函数f(x)的值域为.【答案】　[探究共研型]正整数指数函数的应用探究1　某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，…，一直分裂下去，你能用列表法表示1个细胞分裂次数分别为1,2,3,4,5时，得到的细胞个数吗？用图像表示呢？【提示】　分裂次数(n)12345细胞个数(y)2481632探究2　请你写出探究1中得到的细胞个数y与分裂次数n之间的函数关系式．【提示】　细胞个数y与分裂次数n之间的关系式为y＝2n，n∈N＋.　雾霾对人的身体健康的危害日益严重，患呼吸道疾病的人数明显增多，据不完全统计，某地从2009年到2013年间平均每年上

7、升2%.若按这个增长率进行研究，设从2008年开始经过x(x∈N＋)年，患呼吸道疾病的人数为y人，若2013年患病人数为11万人：(参考数据1.023≈1.06,1.025≈1.1)(1)试计算出2008年患呼吸道疾病的人数；(2)写出x，y之间的关系式，并计算2016年患呼吸道疾病的人数．【精彩点拨】　利用正整数指数型函数模型，列出关系式，计算．【尝试解答】　　(1)设2008年患病人数为a万人，则a(1＋2%)5≈11，即a×1.025≈11.∵1.025≈1.1，∴a≈10(万人)，∴2008年患呼吸道疾病的