高中数学 第三章 不等式 3.2 均值不等式（一）学案 新人教B版必修.doc

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1、3．2　均值不等式(一)[学习目标]　1.理解均值不等式的内容及证明.2.能熟练运用均值不等式来比较两个实数的大小.3.能初步运用均值不等式证明简单的不等式．[知识链接]下列说法中，正确的有________．(1)a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2；(2)(a±b)2≥0；(3)a2＋b2≥(a＋b)2；(4)(a＋b)2≥(a－b)2.答案　(1)(2)解析　当a，b同号时，有a2＋b2≤(a＋b)2，所以(3)错误；当a，b异号时，有(a＋b)2≤(a－b)2，所以(4)错误．[预习导引]1．重要不等式对于任意实数a，b，a2＋b2≥2ab，当且

2、仅当a＝b时，等号成立．2．均值定理如果a，b∈R＋，那么≥，当且仅当a＝b时，等号成立．3．算术平均值与几何平均值对任意两个正实数a，b，数叫做a，b的算术平均值，数叫做a，b的几何平均值．故均值定理可以表述为：两个正数的算术平均值大于或等于它的几何平均值．4．均值定理的常用推论(1)ab≤()2≤(a，b∈R)．(2)当ab>0时，＋≥2；当ab<0时，＋≤－2.(3)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a，b，c∈R).要点一　均值不等式的证明例1　证明下列不等式，并指出“＝”号成立的条件：(1)a2＋b2≥2ab；　(2)≤(a>0，b>0

3、)．证明　(1)∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，取“＝”．(2)∵a＋b－2＝()2＋()2－2·＝(－)2≥0.∴a＋b≥2.∴≤，当且仅当a＝b时，取“＝”．规律方法　a2＋b2≥2ab对a、b∈R都成立，≥成立的条件是a，b∈R＋，两个不等式“＝”号成立的条件都是a＝b.跟踪演练1　还有一种证明≤(a>0，b>0)的方法叫做分析法，下面设计了分析法证明这个不等式的过程，你能不能把过程中留的空填正确？要证：≥(a>0，b>0)①只要证：a＋b≥________②要证②，只要证a＋b－_______

4、_≥0③要证③，只要证(________－________)2≥0④显然，④是成立的，当且仅当a＝b时，④的等号成立．答案　2　2　　要点二　均值不等式的直接应用例2　(1)已知a，b，c为任意的实数，求证a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.(2)已知a，b，c为不全相等的正数，求证a＋b＋c＞＋＋.证明　(1)∵a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca.∴2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ca)，即a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.(2)∵a＞0，b＞0，c＞0，∴a＋b≥2＞0，b＋c≥2＞0，c＋a≥2＞0.∴2(a

5、＋b＋c)≥2(＋＋)，即a＋b＋c≥＋＋.由于a，b，c为不全相等的正实数，故等号不成立．∴a＋b＋c＞＋＋.规律方法　在利用均值不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当的数、式，以便于利用均值不等式．跟踪演练2　已知x，y都是正数．求证：(1)＋≥2；(2)(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3.证明　(1)∵x，y都是正数，∴＞0，＞0，∴＋≥2＝2，即＋≥2.当且仅当x＝y时，等号成立．(2)∵x，y都是正数，∴x＋y≥2＞0，x2＋y2≥2＞0，x3＋y3≥2＞0.∴(x＋y)(x2＋y2)

6、(x3＋y3)≥2·2·2＝8x3y3.即(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3，当且仅当x＝y时，等号成立．要点三　含条件的不等式的证明例3　已知a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，求证：＋＋≥9.证明　∵a＋b＋c＝1，∴＋＋＝＋＋＝3＋＋＋＋＋＋＝3＋(＋)＋(＋)＋(＋)≥3＋2＋2＋2＝9.当且仅当a＝b＝c＝时，取等号．规律方法　使用均值不等式证明问题时，要注意条件是否满足，同时注意等号能否取到，问题中若出现“1”要注意“1”的整体代换，多次使用均值不等式，要注意等号能否同时成立．跟踪演练3　已知a，b，x，y∈R，且a2＋

7、b2＝1，x2＋y2＝1，求证：ax＋by≤1.证明　∵a2＋x2≥2ax，b2＋y2≥2by，∴a2＋x2＋b2＋y2≥2ax＋2by，又∵a2＋b2＝1，x2＋y2＝1，∴2ax＋2by≤2，∴ax＋by≤1.1．不等式m2＋1≥2m中等号成立的条件是(　　)A．m＝1B．m＝±1C．m＝－1D．m＝0答案　A2．若0>>bB．b>>>aC．b>>>aD．b>a>>答案　C解析　∵0a＋b，∴b>.∵b>a>0，∴ab>a2，∴>a.故b>>>a.3．如果0

8、og，Q＝(loga＋logb)，M＝log(a＋b)，那么P，Q，M的大小顺序是(　　)A．P>Q>MB．Q>P>MC．