高中数学 第三章 不等式 3.2 均值不等式（二）学案 新人教B版必修.doc

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1、3．2　均值不等式(二)[学习目标]　1.熟练掌握均值不等式及变形的应用.2.会用均值不等式解决简单的最大(小)值问题.3.能够运用均值不等式解决生活中的应用问题．[知识链接]1．已知x，y都是正数，若x＋y＝s(和为定值)，那么xy有最大值还是最小值？如何求？答　xy有最大值．由均值不等式，得s＝x＋y≥2，所以xy≤，当x＝y时，积xy取得最大值.2．已知x，y都是正数，若xy＝p(积为定值)，那么x＋y有最大值还是最小值？如何求？答　x＋y有最小值.由均值不等式，得x＋y≥2＝2.当x＝y时，x＋y取得最小值2.[预习导引]1．用均值不等式求最值的结论(1

2、)设x，y为正实数，若x＋y＝s(和s为定值)，则当x＝y时，积xy有最大值，且这个值为.(2)设x，y为正实数，若xy＝p(积p为定值)，则当x＝y时，和x＋y有最小值，且这个值为2.2．均值不等式求最值的条件(1)x，y必须是正数；(2)求积xy的最大值时，应看和x＋y是否为定值；求和x＋y的最小值时，应看积xy是否为定值．(3)等号成立的条件是否满足.要点一　均值不等式与最值例1　(1)若x>0，求函数y＝x＋的最小值，并求此时x的值；(2)设02，求x＋的最小值；(4)已知x>0，y>0，且＋＝1

3、，求x＋y的最小值．解　(1)当x>0时，x＋≥2＝4，当且仅当x＝，即x2＝4，x＝2时取等号．∴函数y＝x＋(x>0)在x＝2时取得最小值4.(2)∵00，∴y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤2[]2＝.当且仅当2x＝3－2x，即x＝时，等号成立．∵∈(0，)．∴函数y＝4x(3－2x)(02，∴x－2>0，∴x＋＝x－2＋＋2≥2＋2＝6，当且仅当x－2＝，即x＝4时，等号成立．所以x＋的最小值为6.(4)方法一　∵x>0，y>0，＋＝1，∴x＋y＝(＋)(x＋y)＝＋＋10≥2＋10＝6＋1

4、0＝16，当且仅当＝，又＋＝1，即x＝4，y＝12时，上式取等号．故当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16.方法二　由＋＝1，得(x－1)(y－9)＝9(定值)．可知x>1，y>9，∴x＋y＝(x－1)＋(y－9)＋10≥2＋10＝16，当且仅当x－1＝y－9＝3，即x＝4，y＝12时上式取等号，故当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16.规律方法　在利用均值不等式求最值时要注意三点：一是各项为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件．跟踪演练1　

5、(1)已知x>0，求f(x)＝＋3x的最小值；(2)已知x<3，求f(x)＝＋x的最大值；(3)设x>0，y>0，且2x＋8y＝xy，求x＋y的最小值．解　(1)∵x>0，∴f(x)＝＋3x≥2＝12，当且仅当3x＝，即x＝2时取等号．∴f(x)的最小值为12.(2)∵x<3，∴x－3<0.∴f(x)＝＋x＝＋(x－3)＋3＝－[＋(3－x)]＋3≤－2＋3＝－1，当且仅当＝3－x，即x＝1时取等号．∴f(x)的最大值为－1.(3)方法一　由2x＋8y－xy＝0，得y(x－8)＝2x，∵x>0，y>0，∴x－8>0，y＝，∴x＋y＝x＋＝x＋＝(x－8)＋＋10

6、≥2＋10＝18.当且仅当x－8＝，即x＝12时，等号成立．∴x＋y的最小值是18.方法二　由2x＋8y－xy＝0及x>0，y>0，得＋＝1.∴x＋y＝(x＋y)(＋)＝＋＋10≥2＋10＝18.当且仅当＝，即x＝2y＝12时等号成立．∴x＋y的最小值是18.要点二　均值不等式在实际问题中的应用例2　某单位用2160万元购得一块空地，计划在该空地上建造一栋至少10层，每层2000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：元)．(1)写出楼房平均综合费用y关于建造层数x的函数关系式；(2)该楼房应建造多少

7、层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少？最少值是多少？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝)解　(1)依题意得y＝(560＋48x)＋＝560＋48x＋(x≥10，x∈N＋)．(2)∵x>0，∴48x＋≥2＝1440，当且仅当48x＝，即x＝15时取到“＝”，此时，平均综合费用的最小值为560＋1440＝2000(元)．所以当该楼房建造15层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少，最少值为2000元．规律方法　利用均值不等式解决实际问题时，一般是先建立关于目标量的函数关系，再利用均值不等式求解目标函数的最大(小)值及取最大(小)值的条

8、件．跟踪演练2　某食品厂