高中数学 3.2 均值不等式学案 新人教B版必修.doc

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1、§3.2　均值不等式1．一个常用的均值不等式链设a>0，b>0，则有：min{a，b}≤≤≤≤≤max{a，b}，当且仅当a＝b时，所有等号成立．若a>b>0，则有：b<<<<

2、a

3、·

4、b

5、，当且仅当

6、a

7、＝

8、b

9、时取等号．(3)a，b，c∈R，都有a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca成立．(4)若ab>0，则＋≥2.3．利用均值不等式求最值的法则均值不等式≤(a，b为正实数)常用于证明不等式或求代数式的最值．(1)当

10、两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即ab≤2，当且仅当a＝b时，等号成立．(2)当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即a＋b≥2，当且仅当a＝b时，等号成立．注意：利用均值不等式求代数式最值，要注意满足三个条件：①两个正数；②两个正数的积或和为定值；③取最值时，等号能成立．概括为“一正、二定(值)、三相等”．4．函数f(x)＝x＋(k>0)的单调性在求最值中的应用有些最值问题由于条件的限制使等号取不到，其最值又确实存在，我们可以利用函数f(x)＝x＋(k>0)的单调性加以解决．利用函数单调性的定义可以证明函数f(

11、x)＝x＋(k>0)在(0，]上单调递减，在[，＋∞)上单调递增．因为函数f(x)＝x＋(k>0)是奇函数，所以f(x)＝x＋(k>0)在(－∞，－]上为增函数，在[－，0)上为减函数．函数f(x)＝x＋(k>0)在定义域上的单调性如右图所示．例如：求函数f(x)＝sin2x＋，x∈(0，π)的最小值．解　令t＝sin2x，x∈(0，π)，g(t)＝t＋.t∈(0,1]，易知g(t)在(0,1]上为单调递减函数，所以当t＝1时，g(t)min＝6.即sinx＝1，x＝时，f(x)min＝6.一、利用均值不等式求最值方法链接：

12、均值不等式是求函数最值的有利工具，在使用均值不等式求函数最值时，要注意应用条件“一正、二定、三相等”．不要仅仅关注结构上的定值，而忽略对相等条件的考察．例1　求函数y＝的最大值．解　设t＝，从而x＝t2－2(t≥0)，则y＝.当t＝0时，y＝0；当t>0时，y＝≤＝.当且仅当2t＝，即t＝时等号成立．即当x＝－时，ymax＝.二、利用均值不等式解恒成立问题方法链接：含参数的不等式恒成立问题，通过分离参数，把参数的范围化归为函数的最值问题．a>f(x)恒成立⇔a>[f(x)]max，a

13、例2　已知f(x)＝32x－(k＋1)3x＋2，当x∈R时，f(x)恒为正值，则k的取值范围是(　　)A．(－∞，－1)B．(－∞，2－1)C．(－1,2－1)D．(－2－1,2－1)解析　由f(x)>0得32x－(k＋1)·3x＋2>0，解得k＋1<3x＋，而3x＋≥2，∴k＋1<2，k<2－1.答案　B三、利用均值不等式证明不等式方法链接：证明不等式时应根据求证式两端的结构，合理选择重要不等式及其变形不等式；本题的证明方法在论证对称不等式时具有一定的普遍性．例3　已知a>2，求证：loga(a－1)·loga(a＋1)<

14、1.证明　因为a>2，所以loga(a－1)>0，loga(a＋1)>0.又loga(a－1)≠loga(a＋1)，所以<＝loga(a2－1)

15、费用相同，费用为445元/m2，以后每增高一层，建筑费用就增加30元/m2，试设计这幢办公楼的楼层数，使总费用最少，并求其最少总费用．(总费用＝建筑费用＋征地费用)解　设建造这幢办公楼的楼层数为n，总费用为y元，当n＝1时，y＝2.5·A·2388＋445A＝6415A(元)，当n＝2时，y＝2.5··2388＋445A＝3430A(元)，当n≥3时，y＝2.5··2388＋445·＋(445＋30)·＋(445＋60)·＋…＋[445＋30(n－2)]·＝6000·＋15nA＋400A≥2A＋400A＝1000A(元)(当

16、且仅当n＝20时取等号)．即n＝20时，有最小值1000A元，所以，当建造这幢办公楼的楼层数为20时，总费用最少，为1000A元．1．忽略应用均值不等式的前提条件而致错例1　求f(x)＝2＋log2x＋(0