高中数学《3.2均值不等式》导学案（一）新人教B版必修.doc

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1、3.2　均值不等式（一）明目标、知重点　1.理解均值定理的内容及证明.2.能熟练运用均值不等式来比较两个实数的大小.3.能初步运用均值定理证明简单的不等式．1．重要不等式对于任意实数a，b，a2＋b2≥2ab，当且仅当时，等号成立．2．均值定理如果a，b∈R＋，那么，当且仅当时，等号成立．3．算术平均值与几何平均值对任意两个正实数a，b，数叫做a，b的算术平均值，数叫做a，b的几何平均值．故均值定理可以表述为：两个正数的算术平均值它的几何平均值．4．均值定理的常用推论(1)ab≤2≤(a，b∈R)；(2)＋≥2(a，b同号)；(3)

2、当ab>0时，＋≥2；当ab<0时，＋≤－2；(4)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a，b，c∈R)．[情境导学]在学习等差数列和等比数列时，我们知道两个正数a，b的等差中项和等比中项分别为、，那么这两个中项有什么大小关系哪？能不能相等？什么条件下相等？本节我们就来研究这个问题．探究点一　重要不等式a2＋b2≥2ab思考　如何证明不等式a2＋b2≥2ab?探究点二　基本不等式≤思考1　如果a>0，b>0，用，分别代替a2＋b2≥2ab中的a，b会得到怎样的不等式？思考2　如何证明不等式≤(a>0，b>0)?思考3　对任意两个正实

3、数a，b，数叫做a，b的算术平均值，数叫做a，b的几何平均值．那么均值定理如何用它们表述？思考4　如果把看作是正数a，b的等比中项，看作是正数a，b的等差中项，该定理如何叙述？思考5　不等式a2＋b2≥2ab与≤成立的条件相同吗？如果不同各是什么？例1　已知ab>0，求证：＋≥2，并推导出式中等号成立的条件．跟踪训练1　已知a，b，c为不全相等的正数，求证：a＋b＋c>＋＋.探究点三　均值不等式≤的几何解释思考　如图，以长为a＋b的线段为直径作圆O，在直径AB上取点C，使AC＝a，CB＝b，过点C作垂直于直径AB的弦DD′.能否借助

4、该几何图形解释均值不等式的几何意义？例2　已知a，b，c都是正实数，且a＋b＋c＝1，求证：＋＋≥9.跟踪训练2　已知a、b、c都是正实数，求证：(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥8abc.探究点四　利用均值不等式求最值例3　已知函数y＝x＋，x∈(－2，＋∞)，求此函数的最小值．跟踪训练3　已知函数y＝x＋，x∈(－∞，0)，求函数的最大值．1．已知a>0，b>0，则＋＋2的最小值是(　　)A．2B．2C．4D．52．若0>>bB．b>>>aC．b>>>aD．b>a>>3．设a、b是

5、实数，且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值是(　　)A．6B．4C．2D．84．设b>a>0，且a＋b＝1，则此四个数，2ab，a2＋b2，b中最大的是(　　)A．bB．a2＋b2C．2abD.5．设a>0，b>0，给出下列不等式：①a2＋1>a；②≥4；③(a＋b)≥4；④a2＋9>6a.其中恒成立的是________．(填序号)3.2　均值不等式（一）【强化训练】一、基础过关1．若a，b，c>0且a(a＋b＋c)＋bc＝4－2，则2a＋b＋c的最小值是(　　)A.－1B.＋1C．2＋2D．2－22．若a，b∈R，且ab>0，则下列

6、不等式中，恒成立的是(　　)A．a2＋b2>2abB．a＋b≥2C.＋>D.＋≥23．若x>0，y>0，且x＋y＝4，则下列不等式中恒成立的是(　　)A.≤B.＋≥1C.≥2D.≥14．设a>0，b>0，若是3a与3b的等比中项，则＋的最小值为(　　)A．8B．4C．1D.5．若a<1，则a＋有最____(填“大”或“小”)值，为_______________________．6．若不等式x2－ax＋1≥0对一切x∈(0,1]恒成立，则a的取值范围是________．7．设a、b、c都是正数，求证：＋＋≥a＋b＋c.二、能力提升8．

7、已知a，b∈(0，＋∞)，则下列不等式中不成立的是(　　)A．a＋b＋≥2B．(a＋b)≥49．设0210．若对任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围为________．11．已知x>y>0，xy＝1，求证：≥2.12．已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：(1)＋＋≥8；(2)≥9.