高中数学 第三章 不等式 3.2 均值不等式学案新人教B版必修.doc

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1、3．2均值不等式一、学习目标：1．掌握均值定理的推导2．培养学生应用均值定理分析问题、解决问题的能力.二、重点难点：重点：均值定理的推导极其应用难点：均值定理在实际问题中的应用三、学习过程：（一）自学教材，填空⒈正数a、b的算术平均数为；几何平均数为．⒉均值不等式是。其中前者是，后者是．如何给出几何解释？⒊在均值不等式中a、b既可以表示数，又可以表示代数式，但都必须保证；另外等号成立的条件是．⒋试根据均值不等式写出下列变形形式，并注明所需条件（1）a2+b2()（2）（）（3）＋（）（4）x＋()（5）x＋()（6）ab≤（）⒌在用均

2、值不等式求最大值和最小值时，必须注意a+b或ab是否为值，并且还需要注意等号是否成立．（二）典型例题例⒈已知a、b、c∈（0，＋∞），且a+b+c=1，求证++≥9．例⒉（１）一个矩形的面积为100m2。问这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的周长最短？最短周长是多少？（２）已知矩形的周长为36m。问这个矩形的长、宽各为多少时，它的面积最大？最大面积是多少？（三）课堂训练⒈已知a、b∈（0，1）且a≠b，下列各式中最大的是（　　　）　Ａ．a2+b2　　　　　　Ｂ．２　　　　　　Ｃ．2b　　　　　　Ｄ．+b⒉判断下列不等式的证明过程中的正误

3、，并指出错因。　（1）若a、b∈R，则＋≥2＝2（）（2）若x、y∈R＋，则lgx＋lgy≥2（）（3）x∈R－，则x＋≥－2＝－4（）（4）若x∈R，则＋≥2＝2（）　⒊x∈R，下列不等式恒成立的是（）A．x2+1≥xB．<1C．lg(x2+1)≥lg(2x)D．x2+4>4x⒋设x>0，则函数y=2－－x的最大值为；此时x的值是。5．若x>1，则log＋log的最小值为；此时x的值是。6．⑴函数f(x)=x(2－x)的最大值是；此时x的值为___________________；．⑵函数f(x)=2x(2－x)的最大值是；此时x的

4、值为___________________；⑶函数f(x)=x(2－2x)的最大值是；此时x的值为___________________；⑷函数f(x)=x(2＋x)的最小值是；此时x的值为__________________；（四）课后练习(题目分为A、B、C三级，A、B为必须掌握的，C供学有余力的学生选作。)　A1．下列命题正确的是（　　　　）Ａ．a2+1>2aＢ．│x+│≥2Ｃ．≤2Ｄ．sinx+最小值为4．　A2．以下各命题(1)x2+的最小值是1；（2）最小值是2；(3)若a>0,b>0,a+b=1则（a+）(b+)的最小值

5、是4，其中正确的个数是（　　　　）　　Ａ．0　　　　　　　　　Ｂ．1　　　　　　　　Ｃ．2　　　　　　　Ｄ．3A3设a>0,b>0则不成立的不等式为（　　　　　）Ａ．＋≥2　　　　　　　Ｂ．a2+b2≥2ab　　　　　　Ｃ．＋≥a＋b　　　　　Ｄ．2+　B4设a、bR＋，若a+b=2，则的最小值等于（　　　　　）Ａ．1　　　　　Ｂ．2Ｃ．3　　　　　　Ｄ．4B5已知ab>0，下列不等式错误的是（　　　　　）　Ａ．a2+b2≥2ab　　　Ｂ．　　Ｃ．　　Ｄ．A6若a、b为正数且a+b=4，则ab的最大值是________．　B7已知x>

6、1.5，则函数y＝2x+的最小值是_________．　C8已知a、b为常数且0

7、解，能灵活地用均值不等式解决有关问题。2．培养学生观察、比较、分析、归纳等数学意识与解决问题的能力。二、重点难点：重点：均值定理应用难点：均值定理的理解三、学习过程：（一）填空1、（1）（2）（3）（条件：）（4）（5）（条件：）（6）推广：如果有个正数，则2、均值不等式求最值，在利用“两个正数的和为定值，则可求其积的最大值；积为定值，则可求其和的最小值”这个结论时，应注意使这个结论成立的三个前提条件。即：“一正二定三相等”。（1）一正：各项或各因式非负；（2）二定：和或积为定值；（3）三相等：各项或各因式都能取得相等的值。（二）典型

8、例题1、判断的最小值是12吗？为什么？如果是，需要什么条件2、是否可以用均值不等式的相关知识求的最值，为什么？跟踪练习：已知，且，求的最小值4.求函数的最小值及此时的值。（三）课堂训练1、下列结论正确的是（）A.当时，B